课时达标检测10 夹角问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(十)　夹角问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.两异面直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则 (D) A.α=θ B.α=π-θ C.cos θ=|cos α| D.cos α=|cos θ| 解析　α=θ或α=π-θ,且α∈,因而cos α=|cos θ|。 2.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为 (C) A. B. C. D. 解析　因为线面角的范围是,又<a,n>=,则l与α所成的角为-=。 3.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于 (D) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°。 4.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为 (A) A. B. C.- D.- 解析　如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),所以=(-1,1,2),=(-1,-2,1)。则cos<,>===。所以异面直线MN与OD1所成角的余弦值为。故选A。 5.已知正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 (A) A. B. C. D. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0)。设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则y=-2,x=2,所以平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1)。设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|==。故选A。 6.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为 (B) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)。于是=(0,1,0),取PD的中点E,连接AE,则E0,,,所以=,易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,所以cos<,>==,所以平面PAB与平面PCD的夹角为45°。 7.如图,已知四棱锥P⁃ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于点O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=2,E,F分别是AB,AP的中点。则平面FOE与平面OEA夹角的余弦值为 (B) A.- B. C.- D. 解析　由题意,以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知,OA=OB=2,则A(0,-2,0),B(2,0,0),P(0,0,2),所以E(1,-1,0),F(0,-1,1),所以=(1,-1,0),=(0,-1,1),设平面OEF的法向量为m=(x,y,z),则即令x=1,可得m=(1,1,1)为平面OEF的一个法向量,易知平面OEA的一个法向量为n=(0,0,1),则cos<m,n>===,设平面FOE与平面OEA的夹角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|=。 二、填空题 8.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M是C1C的中点,O是底面ABCD的中心,P是A1B1上的任意一点,则直线BM与OP所成的角为  。  解析　建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,A1P=x,则O(1,1,0),P(2,x,2),B(2,2,0),M(0,2,1),=(1,x-1,2),=(-2,0,1)。因为·=0,所以直线BM与OP所成的角为。 9.已知在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为  。  解析　在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),=(2,-1,-2),=(2,0,4),=(0,1,2),设平面A1E