课时达标检测9 距离问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(九)　距离问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.已知直线l的方向向量n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为 (A) A. B. C. D.2 解析　取a==(-1,-1,-1),u==,则a2=3,a·u=-,所以点P到直线l的距离为==。 2.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为 (A) A.a B.a C.a D. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a)。 所以取a==(0,a,-a),u==,则a2=2a2,a·u=-。所以点A1到BC1的距离为==a。 3.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为 (D) A.10 B.3 C. D. 解析　由=(-1,-2,4),得点P到平面α的距离为=。 4.已知棱长为1的正方体ABCD⁃EFGH,若点P在正方体内部且满足=++,则点P到直线AB的距离为 (A) A. B. C. D. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系,则=(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=。取a==,u==(1,0,0),则a2=,a·u=。所以点P到AB的距离为=。 5.在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为 (B) A. B. C. D. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,1,0),B(0,-1,1),C(,0,1),A(0,1,1),=(0,0,1),=(0,-2,1),=(,-1,1),设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),由得取z=1,则n=为平面A1BC的一个法向量,所以点A到平面A1BC的距离为==。 6.如图,已知直三棱柱ABO⁃A1B1O1中,∠AOB=,AO=2,BO=6,D为A1B1的中点,且异面直线OD与A1B垂直,则直线A1B1到平面ABO的距离为 (C) A.2 B.3 C.4 D.6 解析　由直棱柱的性质,知直线A1B1到平面ABO的距离为棱柱的高,不妨设为t(t>0)。以O为原点,OA,OB,OO1所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),B(0,6,0),A1(2,0,t),B1(0,6,t),D(1,3,t),所以=(-2,6,-t),=(1,3,t),因为A1B⊥OD,所以·=-2+18-t2=0,所以t=4。故选C。 7.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 (D) A.a B.a C.a D.a 解析　 由正方体的性质,易得平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离。以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),=(a,-a,a),=(0,-a,0),连接A1C,则A1C⊥B1D1,A1C ⊥AB1,又B1D1∩AB1=B1,B1D1,AB1⊂平面AB1D1,所以A1C⊥平面AB1D1,得平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1),则两平面间的距离==a。 二、填空题 8.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为  。  解析　如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有=(1,-1,-1),=(0,-2,1),取a==(0,-2,1),u==,则a2=5,a·u=,所以点D1到直线GF的距离为==。 9.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1)。已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d= 2 。  解析　d===2。 10.已知正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1到平面BDE的距离为 1 。  解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,2,),=(2,2,0),=(0,2,),易知AC1∥平面BDE。设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量。则取y=1,则n=(-1,1,-)为平面BDE的一个法向量。又因为=(2,0,0),所以直线AC1到平面BDE的距离==1。 三、解