课时达标检测8 空间中直线、平面的垂直-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(八)　空间中直线、平面的垂直 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.设直线l1的一个方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的一个方向向量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则m= (D) A.1 B.-2 C.-3 D.3 解析　因为l1⊥l2,所以a⊥b,所以a·b=2×2+1×2+(-2)·m=0,所以m=3。 2.已知平面α的一个法向量为a=(1,2,-2),平面β的一个法向量为b=(-2,-4,k),若α⊥β,则k= (D) A.4 B.-4 C.5 D.-5 解析　因为α⊥β,所以a⊥b,所以a·b=-2-8-2k=0。所以k=-5。 3.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为 (B) A.,-,4 B.,-,4 C.,-2,4 D.4,,-15 解析　因为⊥,所以·=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,所以⊥,⊥,则解得 4.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于 (B) A.AC B.BD C.A1D D.AA1 解析　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz。设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),E(1,1,2),A(2,0,0),B(2,2,0),=(1,-1,2),=(-2,2,0),=(-2,-2,0),=(-2,0,-2),=(0,0,2)。因为·=-2-2+0=-4≠0,所以CE与AC不垂直,因为·=1×(-2)+(-1)×(-2)+2×0=0,所以CE⊥BD。因为·=1×(-2)+(-1)×0+2×(-2)=-6≠0,所以CE与A1D不垂直。因为·=1×0+(-1)×0+2×2=4≠0,所以CE与AA1不垂直。 5.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,= (B) A. B.1 C.2 D.3 解析　建立如图所示空间直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,P(0,0,a)。设F(0,y,0),则=(-1,y,0),=。因为BF⊥PE,所以·=(-1)×+y=0,解得y=,即F是AD的中点,故=1。故选B。 6.如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则 (B) A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 解析　分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),E,F,=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(-1,-1,1),=,所以·=0,·=0,=-3,所以EF⊥A1D,EF⊥AC,BD1∥EF。 二、多项选择题 7.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),点D满足条件:DB⊥AC,DC⊥AB,AD=BC,则点D的坐标可以为 (AD) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C. D. 解析　设D(x,y,z),则=(x,y-1,z),=(x,y,z-1),=(x-1,y,z),=(-1,0,1),=(-1,1,0),=(0,-1,1)。又DB⊥AC⇔-x+z=0　①,DC⊥AB⇔-x+y=0　②,AD=BC⇔(x-1)2+y2+z2=2　③,联立①②③得x=y=z=1或x=y=z=-,所以点D的坐标为(1,1,1)或-,-,-。 8.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM (AC) A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.与AC,MN都不垂直 解析　以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)。设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a)。所以=(-a,-a,a),=(0,a,a),=(-2a,2a,0)。因为·=0,·=0,所以OM⊥AC,OM⊥MN。OM和AA1显然不垂直。 三、填空题 9.已知u=(a+b,a-b,2)是直线l的一个方向向量,n=(2,3,1)是平面α的一个法向量,若l⊥α,则a,b的值分别为 5,-1 。  解析　因为l⊥α,所以u∥n。所以==,