课时达标检测3 空间向量基本定理-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(三)　空间向量基本定理 基础达标 一、单项选择题 1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是 (D) A.a B.b C.a+2b D.a+2c 解析　能与p,q构成基底,则与p,q不共面。因为a=,b=,a+2b=p-q,所以A,B,C都不合题意。因为{a,b,c}为空间的一个基底,所以a+2c与p,q不共面,可构成基底。 2.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成空间基底的向量是 (C) A. B. C. D.或 解析　因为=a-b且a,b不共线,所以a,b,共面,所以与a,b不能构成一个空间基底。 3.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是 (D) A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 解析　因为=λ+μ,所以,,共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内。 4.在正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{,,}为基底,=x+y+z,则x,y,z的值是 (A) A.x=y=z=1 B.x=y=z= C.x=y=z= D.x=y=z=2 解析　=++=(+)+(+)+(+)=++=++,由空间向量基本定理得x=y=z=1。 5.如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是DD1的中点,N是A1B1的中点,则直线ON与AM的位置关系是 (B) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法判断 解析　=+,=++=-(+)++=-+,设||=a,则·=·=-+·-·+=-a2+a2=0,故⊥,即ON⊥AM。 6.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为 (C) A.1 B. C. D. 解析　设=2i,=2j,=k,i·j=i·k=j·k=0,|i|=|j|=|k|=1,则=+=i+j+k,=+=++(-)=2i+j+k,=-=i-k,||===。 7.如图,已知正三棱柱ABC⁃A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 (D) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　不妨设棱长为2,则=-,=+,cos<,> ===0,故AB1与BM所成的角为90°。 二、填空题 8.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=a,=b,A=c,A1C1与B1D1的交点为E,则= -a+b+c 。  解析　如图,=+=+(+)=+(-)=-a+b+c。 9.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于 12 。  解析　因为=++,所以||2=(++)2=+++ 2·+ 2·+2·=36+36+36+0+0+2||||cos 60°=108+2×6×6×=144。所以PC=12。 10.已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是 60° 。  解析　因为=++,所以·=·(++)=||2=1,所以cos<,>==,所以异面直线a,b所成的角是60°。 三、解答题 11.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1。 (1)求<,>的余弦值; (2)求证:⊥。 解　(1)=+=+,=+=+=-。因为·=0,·=0,·=0,所以·=·=。又||=||=,所以cos<,>=。 (2)证明:因为=+=-+,=+=-(+),所以·=0,所以⊥。 12.已知正四面体A⁃BCD的棱长为1,点E,F分别是BC,AD的中点。 (1)证明:EF⊥BC; (2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值。 解　记=a,=b,=c,这三个向量不共面,则{a,b,c}为空间的一个基底,且|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,所以a·b=b·c=c·a=。 (1)证明:因为=-=-(+)=-a+b-c,=-=-a+c,所以·=·(-a+c)=a2-a·b+a·c-a·c+b·c-c2=-×+×-×+×-=0,所以⊥,即EF⊥BC。 (2)因为=(+)=a+c,所以||===×=。因为=-=b-c,所以·=·(b-c)=a·b+c·b-a·c-c2=-,又|CD|=1,所以cos<,>===-,所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为。 素养提升 13.如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,BC1与B1C相交于点O,∠A1AB=∠A1AC=60°, ∠BAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,