课时达标检测2 空间向量的数量积运算-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(二)　空间向量的数量积运算 基础达标 一、单项选择题 1.下列命题中,不正确的有 (D) A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b C.a·(b+c)=(b+c)·a D.a2b=b2a 解析　ABC正确;D不正确,因为等式左边表示与b共线的向量,右边表示与a共线的向量,两者方向不一定相同。 2.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,则a+b与a-b之间的关系是 (A) A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能 解析　由题意知|a|=|b|,因为(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b)。 3.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>等于 (B) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　根据a与2b-a互相垂直,得a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,解得a·b=2,所以cos<a,b>===,又0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°。故选B。 4.已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°,其模均为1,则|a-b+2c|= (C) A.5 B.6 C. D. 解析　由题意,得a·b=b·c=a·c=,a2=b2=c2=1,所以|a-b+2c|== ==。 5.如图,在大小为45°的二面角A⁃EF⁃C中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是 (D) A. B. C.1 D. 解析　因为=++,所以||2=||2+||2+||2+2·+ 2·+2·= 1+1+1-=3-,故||=。 6.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为 (D) A.8 B.4 C.2 D.1 解析　·=·(+)=+·,因为AB⊥平面BP2P8P6,所以⊥,所以·=0,所以·=||2=1,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1。 二、多项选择题 7.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是 (BCD) A.与 B.与 C.与 D.与 解析　因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0;因为由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,又AD⊥AB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以AD⊥PB,故·=0;同理·=0。故选BCD。 8.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列选项正确的是 (AB) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为|··| 解析　如图所示,(++)2=(++)2==3;·(-) =·=0;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°;正方体的体积为||||||。故选AB。 三、填空题 9.已知棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则·的值为 1 。  解析　由于=+=+(+)=+(+),而= +,则·=·(+)=()2=1。 10.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心, ·(++)=  。  解析　由已知·=·=·=0,且=,故·(++)=(++)2=(||2+||2+||2)=(1+4+9)=。 11.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是 [0,1] 。  解析　依题意,设=λ,其中λ∈[0,1],·=·(+)=·(+λ)=+λ·=1+λ×1××=1-λ∈[0,1]。因此·的取值范围是[0,1]。 四、解答题 12.如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成的角。 解　不妨设正方体的棱长为1,=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0,=a-c,=a+b。所以·=(a-c)·(a+b)=|a|2+a·b-a·c-b·c=1。而||=||=,所以cos<,>==,又0°≤<,>≤180°,所以<,>=60°。因此异面直线A1B与AC所成的角为60°。 13.如图,正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面边长为。 (1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1; (2)设与的夹角为,求侧棱的长。 解　(1)证明:=+,=+。因为BB1⊥平面ABC,所以·=0, ·=0。又△ABC为正三角形,所以<,>=。所以·= (+ )·(+)=·+·++·= ||·||·cos<,>+=-1+1=0,所以⊥,所以AB1⊥BC1。 (2)由(1)知·=||·||·cos<