第3章 专题 圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 自主预习明新知 1.定点、定值问题 对于解析几何中的定点、定值问题,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口。 2.最值、范围问题 解决圆锥曲线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙;二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等,求解最大或最小值。 3.探索性问题 存在探索型问题作为探索性问题之一,具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求,方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力,因而受到命题人的喜爱。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　最值与范围问题 　　命题方向1:几何法求最值(范围) 　　【例1】　已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若点A(3,0),M满足|AM|=1,且·=0,则|PM|的最小值是  。  解析　因为·=0,所以⊥,所以||2=||2-||2=||2-1。因为点M的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,||越小,||就越小,结合示意图知,当P为椭圆的右顶点时,||取最小值a-c=5-3=2,所以||的最小值是=,即|PM|的最小值是。 　　本题求|PM|最小值可运用椭圆与圆的几何性质,这种方法简单、直观。 　　【变式训练】　已知F1是椭圆+=1的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(-1,3)是一定点,则|PA|+|PF1|的最大值是 15 。  解析　由题意知F1(-3,0),F2(3,0),利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10。易知|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|≤10+|AF2|=15。 　　命题方向2:代数法求最值(范围) 　　【例2】　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点坐标为(,0),且点(0,-1)在C上。 (1)求椭圆的方程; (2)过点(1,0)的直线l与C交于M,N两点,P为线段MN的中点,A为C的左顶点,求直线PA的斜率k的取值范围。 解　(1)由题意,得解得所以椭圆C的方程为+y2=1。 (2)当直线l的斜率不存在时,AP的斜率k=0。当直线l的斜率为0时,AP的斜率k=0。当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+1,联立方程组得(m2+4)y2+2my-3=0。Δ>0显然成立。设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),则y1+y2=-,所以y0=-,则x0=my0+1=-+1=,而点A的坐标为(-2,0),所以直线AP的斜率为k==。①当m=0时,k=0。②当m≠0时,|k|==。因为2m+=|2m|+≥4,当且仅当|2m|=时,等号成立。所以0<≤,从而-≤k≤,且k≠0。综上所述,斜率k的取值范围是-,。 　　用代数法求最值常用函数的性质或基本不等式求解。 【变式训练】　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线-x2=1的焦点重合,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两点。 (1)求椭圆C的方程; (2)求·的取值范围。 解　(1)由题意知e==,所以e2===,所以a2=b2,因为双曲线-x2=1的焦点坐标为(0,±),所以b=,所以a2=4,所以椭圆C的方程为+=1。 (2)当直线l的倾斜角为0°时,不妨令A(-2,0),B(2,0),则·=-4;当直线l的倾斜角不为0°时,设其方程为x=my+4,由⇒(3m2+4)y2+24my+36=0,由Δ>0⇒(24m)2-4×(3m2+4)×36>0⇒m2>4,设A(my1+4,y1),B(my2+4,y2)。因为y1+y2=-,y1y2=,所以·=(my1+4)(my2+4)+y1y2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16+y1y2=-4,因为m2>4,所以·∈-4,。综上所述,·的取值范围为-4,。 类型二　定点与定值问题 　　【例3】　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1)。 (1)求C的方程; (2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足。证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值。 解　(1)由题设得+=1,=,解得a2=6,b2=3。所以C的方程为+=1。 (2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2)。若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入+=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0。于是　①。由AM⊥AN知·=