第3章 圆锥曲线的方程 单元测评卷-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

第三章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线y=4x2的焦点坐标是 (C) A.(0,1) B.(1,0) C.0, D.,0 解析　抛物线y=4x2的标准方程为x2=y,即p=,开口向上,焦点在y轴的正半轴上,故焦点坐标为0,。 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为 (C) A.+=1 B.+=1 C.+=1或+=1 D.+=1 解析　由题意,得解得所以椭圆的方程为+=1或+=1。 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为 (A) A. B. C. D. 解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点。依题意可知,△BF1F2是正三角形,因为在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,所以cos 60°==,即椭圆的离心率e=。 4.设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q。则线段FQ的垂直平分线 (B) A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 解析　连接PF,由题意及抛物线的定义可知|PQ|=|FP|,则△QPF为等腰三角形,故线段FQ的垂直平分线经过点P。故选B。 5.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是 (A) A.x2=2y-1 B.x2=2y- C.x2=y- D.x2=2y-2 解析　设P(x0,y0),PF的中点为(x,y),则y0=,又F(0,1),所以所以代入y0=得2y-1=(2x)2,化简得x2=2y-1。 6.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为。P是C上一点,且F1P⊥F2P。若△PF1F2的面积为4,则a= (A) A.1 B.2 C.4 D.8 解析　解法一:设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,则=mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,又e==,所以a=1。故选A。 解法二:由题意得,==4,得b2=4,又=5,c2=b2+a2,所以a=1。 7.设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l。若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为 (D) A.-=1 B.x2-=1 C.-y2=1 D.x2-y2=1 解析　解法一:由题知y2=4x的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为x+=1,而-=1的渐近线方程为+=0和-=0,由l与一条渐近线平行,与另一条渐近线垂直,得a=1,b=1。故选D。 解法二:由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直,则a=b,即渐近线方程为x±y=0,排除B,C。又知y2=4x的焦点坐标为(1,0),l过点(1,0),(0,b),所以=-1,b=1。故选D。 8.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 (B) A. B. C. D. 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0。根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×-=0,所以a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以=,所以e=。 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.两数1,9的等差中项是a,等比中项是b,则曲线+=1的离心率可能是 (AB) A. B. C. D. 解析　由题意得a=5,b=±3。当a=5,b=-3时,e==;当a=5,b=3时,e==。 10.已知椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,则这个椭圆的标准方程可能为 (BD) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析　因为椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,所以解得a=5,b2=25-16=9。所以当椭圆焦点在x轴上时,椭圆方程为+=1;当椭圆焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1。 11.已知曲线C:mx2+ny2=1 (ACD) A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m=n>0,则C是圆,其半径为 C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x D.若m=0,n>0,则C是两条直线 解析　因为m>n>0,所以>>0,所以+=1表示焦点在y轴上的椭圆,故A项正确;当m=n>0时,x2+y2=表示半径为的圆,故B项错误;当mn<0时