3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

第2课时　直线与抛物线的位置关系 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线与抛物线的位置关系 　　【例1】　已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点? 解　由题意,直线l的方程为y-1=k(x+2),由方程组(*),可得ky2-4y+4(2k+1)=0①。当k=0时,由方程①得y=1,把y=1代入y2=4x,得x=,这时直线l与抛物线只有一个公共点,1。当k≠0时,方程①的判别式Δ=-16(2k2+k-1)。由Δ=0,即2k2+k-1=0,解得k=-1或k=,所以方程①只有一个解,从而方程组(*)只有一个解,这时直线l与抛物线只有一个公共点。 由Δ>0,即2k2+k-1<0,解得-1<k<。于是,当-1<k<,且k≠0时,方程①有两个解,从而方程组(*)有两个解,这时直线l与抛物线有两个公共点。 由Δ<0,即2k2+k-1>0,解得k<-1或k>。于是当k<-1或k>时,方程①没有实数解,从而方程组(*)没有解,直线l与抛物线无公共点。 综上,当k=0或k=-1或k=时,直线l与抛物线只有一个公共点。当-1<k<,且k≠0时,直线l与抛物线有两个公共点。当k<-1或k>时,直线l与抛物线无公共点。 　　直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)判断直线与抛物线的交点个数时,一般是将直线与抛物线的方程联立消元,转化为形如一元二次方程的形式,注意讨论二次项系数是否为0。若该方程为一元二次方程,则利用判别式判断方程解的个数。 (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形:①直线与抛物线的对称轴重合或平行;②直线与抛物线相切。 　　【变式训练】　(1)已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (C) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 解析　因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0)。又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点。 (2)已知直线l过点-,p,且与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点,则直线l的方程为 2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p 。  解析　当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时,由题意设直线l方程为y-p=kx+(k≠0)。将直线l的方程与y2=2px联立,消去x得ky2-2py+(2+3k)p2=0。由Δ=0,得k=或k=-1。所以直线l的方程为2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0。当直线l与x轴平行时,直线l与抛物线只有一个交点,此时,y=p,故满足条件的直线共有三条,其方程为2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p。 类型二　中点弦与弦长问题 　　【例2】　过点P(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,弦AB恰被点P平分,求AB所在直线的方程及弦AB的长度。 解　设A(x1,y1),B(x2,y2),则有=8x1,=8x2,两式相减,得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2)。因为P是AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=2,则k===4,所以所求直线AB的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0。由消去x整理得y2-2y-30=0,则y1+y2=2,y1y2=-30。由弦长公式得|AB|=|y1-y2|=·=。 　　涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法。注意:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解。 　　【变式训练】　(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为 y2=4x 。  解析　设抛物线的方程为y2=ax(a≠0),由方程组得交点为A(0,0),B(a,a),而点P(2,2)是AB的中点,从而有a=4,故所求抛物线的方程为y2=4x。 (2)已知抛物线的顶点在原点,过点A(-4,4)且焦点在x轴上。 ①求抛物线方程; ②直线l过定点B(-1,0),与该抛物线相交所得弦长为8,求直线l的方程。 解　①设抛物线方程为y2=-2px,抛物线过点(-4,4),42=-2p(-4),得p=2,则y2=-4x。 ②当直线l的斜率不存在时,直线l:x=-1与抛物线交于(-1,-2),(-1,2),弦长为4,不合题意。当直线l的斜率存在时,设斜率为k,直线为y=k(x+1),消去y得k2x2+(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=-,x1x2=1。弦长为×=8,解得k2=1,得k=±1,所以直线