3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 情境导入 课程标准 　　生活中存在着各种形式的抛物线,如图所示。初中所学的二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)又是一条怎样的抛物线?抛物线具有什么特征?这是今天我们要研究的问题。 1.掌握抛物线的几何性质。 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题。 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题。 自主预习明新知 1.抛物线的简单几何性质 类型 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图象 性质 焦点 F,0 F-,0 F0, F0,- 准线 x=- x= y=- y= 性质 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e=1 开口 方向 向右 向左 向上 向下 2.焦点弦 直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由抛物线的定义知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,故|AB|=x1+x2+p。 3.直线与抛物线的位置关系 直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的个数。当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;当Δ=0时,直线与抛物线有一个公共点;当Δ<0时,直线与抛物线没有公共点。当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点。 微思考 1.从形状上看,抛物线有点像双曲线的一支,它们有区别吗? 提示:有区别。曲线的延伸趋势不同,例如当抛物线y2=2px(p>0)上的点趋于无穷远时,它在这一点切线的斜率接近于0,也就是说无穷远处抛物线与x轴接近于平行;而双曲线上的点趋于无穷远时,它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率。双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线。 2.抛物线的焦点弦公式与弦长公式有什么关系? 提示:焦点弦公式是弦长公式的一种特殊情况,而弦长公式的适用范围更广。当直线过抛物线焦点时采用焦点弦公式比采用弦长公式更简练。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　由抛物线的几何性质求标准方程 　　【例1】　(1)顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线方程是 (D) A.x2=16y B.x2=8y C.x2=±8y D.x2=±16y 解析　顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线方程有两个:x2=-2py,x2=2py(p>0),由顶点到准线的距离为4,知p=8,故所求抛物线的方程为x2=16y或x2=-16y。 (2)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 (C) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y 解析　设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px(p>0),依题意将x=或x=-代入y2=2px或y2=-2px,得|y|=p,所以2|y|=2p=8,p=4。所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x。 　　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置,不同的焦点设出不同的方程。 　　【变式训练】　以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 (D) A.y2=8x B.y2=±8x C.x2=8y D.x2=±8y 解析　设抛物线方程为x2=2py(p>0)或x2=-2py(p>0),令抛物线焦点的坐标为y=,代入x2=2py得|x|=p,所以2|x|=2p=8,p=4。所以抛物线方程为x2=8y或x2=-8y。 类型二　抛物线的焦点弦问题 　　【例2】　已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点。 (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离。 解　(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=,又F,0。所以直线l的方程为y=x-。联立消去y得x2-5x+=0。若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8。 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-,所以M到准