3.3.1 抛物线及其标准方程 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 情境导入 课程标准 　　 利用信息技术作图,如图所示,F是定点,l是不经过点F的定直线,H是直线l上任意一点,过点H作MH⊥l,线段FH的垂直平分线m交MH于点M,拖动点H,点M随之运动,你能发现点M满足的几何条件吗?它的轨迹是什么形状?这就是今天我们所要研究的抛物线。 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程。 2.通过抛物线图形与方程的学习进一步体会数形结合的思想。 自主预习明新知 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。 2.抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px (p>0) ,0 x=- y2=-2px (p>0) -,0 x= x2=2py (p>0) 0, y=- x2=-2py (p>0) 0,- y= 微提醒 1.标准方程的特征:等号的一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一个变量的一次单项式。 2.开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负方向相同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号。 微思考 1.定义中为什么要求直线l不经过点F? 提示:当直线l经过点F时,点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线,而不是抛物线。 2.p的几何意义是什么? 提示:p的几何意义是焦点到准线的距离。 3.二次函数的图象也是抛物线,与本节所学抛物线相同吗? 提示:不完全相同。当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象,当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　抛物线的定义及应用 　　【例1】　(1)已知抛物线C:y2=x的焦点是F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于 (A) A.1 B.2 C.4 D.8 解析　由题意,知抛物线的准线方程为x=-。因为|AF|=x0,根据抛物线的定义,得x0+=|AF|=x0,所以x0=1。故选A。 (2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是 (C) A.y2=-16x B.y2=-32x C.y2=16x D.y2=32 解析　因为点P到点(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,所以点P到直线x=-4的距离等于它到点(4,0)的距离。根据抛物线的定义,可知P点的轨迹是以点(4,0)为焦点。以直线x=-4为准线的抛物线。设抛物线方程为y2=2px(p>0),可得=4,得2p=16,所以抛物线的标准方程为y2=16x,即P点的轨迹方程为y2=16x。故选C。 　　依据抛物线定义可以实现点线距离与两点距离的转化。 　　【变式训练】　(1)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10,则P点的坐标为 (6,9)或(-6,9) 。  解析　设点P(x0,y0),由抛物线方程x2=4y,知焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1。由抛物线的定义,得|PF|=y0+1=10,所以y0=9,代入抛物线方程得x0=±6。所以P点坐标为(±6,9)。 (2)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为 (A) A. B.2 C. D. 解析　如图,由抛物线定义知|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|,则所求距离之和的最小值转化为求|PA|+|PF|的最小值,则当A,P,F三点共线且P在A,F中间时,|PA|+|PF|取得最小值|AF|==。 类型二　抛物线的标准方程 　　命题方向1:由标准方程求焦点与准线 　　【例2】　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程。 (1)y2=-14x; (2)5x2-2y=0; (3)x=ay2(a≠0)。 解　(1)由题意知p=7,所以焦点坐标是-,0,准线方程是x=。 (2)将抛物线方程化为标准形式,得x2=y,所以p=,所以焦点坐标是0,,准线方程是y=-。 (3)抛物线方程x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=x,所以抛物线x=ay2的焦点坐标为,0,准线方程是x=-。 　　抛物线x=ay2与y=ax2的焦点坐标分别为,0,0,,形式上不随a的正负而改变。 　　【变式训练】　已知函数y=2x在区间[0,1]上的最大值为a,则抛物线=ax的准线方程是 (B) A.x=-3 B.x=-6 C.x=-9 D.x=-12 解析　函数y=2x在[0,1]上的最大值a=2,所以抛物线方程为=2x,即y2=24x,其准线方程为x=-6,故选B。 　　命题方向2:由待定系数法求标