3.2.1 双曲线及其标准方程 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 情境导入 课程标准 　　做下面一个实验。 (1)取一条拉链,拉开一部分。 (2)在拉开的两边各选择一点,分别固定在点F1,F2上。 (3)把笔尖放在M处,随着拉链的拉开或闭拢,画出一条曲线。这条曲线就是本节课所要研究的双曲线。 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程。 2.通过双曲线方程的学习进一步体会数形结合的思想。 自主预习明新知 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 2.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c a,b,c 的关系 c2=a2+b2 微提醒 1.当距离之差的绝对值等于|F1F2|时,动点的轨迹就是两条射线,端点分别是F1,F2,当距离之差的绝对值大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在。 2.在双曲线中,a不一定大于b,“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上。 微思考 1.双曲线定义中的“距离的差的绝对值”中的“绝对值”能否去掉? 提示:不能去掉。若去掉,就变成双曲线的一个分支了。 2.双曲线中a,b,c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同? 提示:双曲线中,b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中,b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c与b的大小关系不确定。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　双曲线定义的应用 　　【例1】　(1)已知点A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当a=3或5时,P点的轨迹为 (D) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 解析　当a=3时,2a=6,此时|AB|=10,所以点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)。当a=5时,2a=10,此时|AB|=10,所以点P的轨迹为射线,且是以B为端点的一条射线。 (2)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 (B) A.11 B.9 C.5 D.3 解析　由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=6,即|3-|PF2||=6,解得|PF2|=9(负值舍去)。故选B。 　　(1)判断点的轨迹是否为双曲线时,要根据双曲线的定义成立的充要条件。 (2)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a)。 　　【变式训练】　(1)已知点F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是 (D) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 解析　F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线。 (2)已知动圆E与圆A:(x+4)2+y2=2外切,与圆B:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心E的轨迹方程为 -=1(x≥) 。  解析　由圆A:(x+4)2+y2=2,可得圆心A(-4,0),半径=;由圆B:(x-4)2+y2=2可得圆心B(4,0),半径=。设动圆E的半径为R,由题意可得|EA|=R+,|EB|=R-,所以|EA|-|EB|=2<2×4,由双曲线的定义可得,动圆E的圆心E在以点A(-4,0),B(4,0)为焦点的双曲线的右支上,因为a=,c=4,所以b2=c2-a2=14,所以动圆圆心E的轨迹方程为-=1(x≥)。 类型二　求双曲线的标准方程 　　【例2】　根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)a=4,经过点A1,-; (2)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2); (3)过点P3,,Q-,5且焦点在坐标轴上。 解　(1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,得b2=-×<0,不符合题意;当焦点在y轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,得b2=9。故所求双曲线的标准方程为-=1。 (2)因为焦点相同,所以设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),所以c2=16+4=20,即a2+b2=