2.2.2 直线的两点式方程 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

2.2.2　直线的两点式方程 情境导入 课程标准 　　 某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处,如图所示。公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km。现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处,如何通过A,B两点的位置确定大道的位置就是今天所要学习的内容。 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程。 自主预习明新知 1.直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 P1(x1,y1), P2(x2,y2), 其中x1≠x2, y1≠y2, = 斜率存在且 不为0 2.直线的截距式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 在x,y轴上的截距分别为a,b且a≠0,b≠0 +=1 斜率存在 且不为0, 直线不过原点　　 微提醒 1.如果x1=x2或y1=y2,则直线P1P2没有两点式方程。 2.若a=0或b=0,则直线没有截距式方程。 微思考 1.方程=和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的适用范围相同吗? 提示:不同。前者为分式形式方程,形式对称,但不能表 示垂直于坐标轴的直线。后者为整式形式方程,适用于过任何两点的直线方程。 2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)中x1=x2,则直线方程怎样表示,若y1=y2呢? 提示:若x1=x2,则直线方程为x=x1;若y1=y2,则直线方程为y=y1。 3.-=1是直线的截距式方程吗? 提示:不是。化为+=1才是直线的截距式方程。 合作探究攻重难 类型一　直线的两点式方程 　　【例1】　(1)若直线l经过点A(2,-1),B(2,7),则直线l的方程为 x=2 。  解析　由于点A与点B的横坐标相等,所以直线l没有两点式方程,所求的直线方程为x=2。 (2)若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m= -2 。  解析　由直线方程的两点式得=,即=。所以直线AB的方程为y+1=-x+2,因为点P(3,m)在直线AB上,所以m+1=-3+2,得m=-2。 　　由两点式求直线方程的步骤 (1)确定直线所经过两点的坐标; (2)由直线的两点式方程写出直线的方程。 　　【变式训练】　已知△ABC的三个顶点坐标A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在的直线方程。 解　因为点A(2,-1),B(2,2),A,B两点横坐标相同,直线AB与x轴垂直,故其方程为x=2。因为A(2,-1),C(4,1),由直线方程的两点式可得AC的方程为=,即x-y-3=0。同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为=,即x+2y-6=0。所以AB,AC,BC三边所在的直线方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0。 类型二　直线的截距式方程 　　【例2】　直线l过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍,求直线l的方程。 解　①当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l的方程为y=kx。因为直线l过点P(-6,3),所以3=-6k,k=-,所以直线l的方程为y=-x,即x+2y=0。 ②当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方程为+=1。又直线l过点P(-6,3),所以+=1,解得b=1。所以直线l的方程为+y=1,即x+3y-3=0。综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0。 　　如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的情况。 　　【变式训练】　已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为 x+y-1=0或2x+3y=0 。  解析　设直线l在两坐标轴上的截距均为a。 ①若a=0,则直线l过原点,此时l的方程为2x+3y=0; ②若a≠0,则l的方程可设为+=1,因为直线l过点(3,-2),知+=1,即a=1,所以直线l的方程为x+y=1,即x+y-1=0。 综上可知,直线l的方程为x+y-1=0或2x+3y=0。 类型三　直线方程的应用 　　【例3】　如图,已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点,则三角形OAB面积的最小值为 4 。  解析　设直线l为+=1(a>0,b>0),因为直线l过点P(2,1),则有+=1,三角形OAB的面积为S=ab。对+=1,利用均值不等式得1=+≥2=,即ab≥8。于是,三角形OAB的面积为S=ab≥4。当且仅当a=4,b=2时取等号。 　　计算最值问题的方法 对于三角形、四边形等