2.2.1 直线的点斜式方程 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 情境导入 课程标准 　　 斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足。若以桥面所在直线为x轴,桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系,那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线。 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的点斜式方程。 自主预习明新知 1.直线的点斜式方程 (1)定义:如图①所示,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,则方程y-y0=k(x-x0)叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式。 (2)如图②所示,过点P0(x0,y0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其方程是x-x0=0,即x=x0。 2.直线的斜截式方程 定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为P0(0,b),其中纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。则方程y=kx+b叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式。 当倾斜角是直角的直线没有斜截式方程。 微提醒 1.经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可以分为两类: (1)斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0); (2)斜率不存在的直线,方程为x-x0=0,即x=x0。 2.应用斜截式方程的前提是直线的斜率存在。 3.纵截距不是距离,它是直线与y轴交点的纵坐标,所以可取一切实数,即可为正数、负数或零。 微思考 1.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢? 提示:不能。有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示。 2.直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗? 提示:不是,直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、可负、可为0。当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数。 合作探究攻重难 类型一　求直线的点斜式方程 　　【例1】　若直线l过点(2,1),分别求l满足下列条件时的直线方程。 (1)倾斜角为135°; (2)平行于x轴; (3)平行于y轴; (4)过原点。 解　(1)直线的斜率k=tan 135°=-1,所以由点斜式方程得y-1=-1×(x-2),即方程为y-1=-(x-2)。 (2)平行于x轴的直线的斜率k=0,故所求的直线方程为y=1。 (3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x=2。 (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k=,故所求的直线方程为y=x。 　　已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线的点斜式方程表示,直线的点斜式方程应在直线斜率存在的条件下使用,当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0。 　　【变式训练】　(1)已知直线的方程是y+2=-x-1,则 (C) A.直线经过点(-1,2),斜率为-1 B.直线经过点(2,-1),斜率为-1 C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1 D.直线经过点(-2,-1),斜率为1 解析　直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)],故直线经过点(-1,-2),斜率为-1。 (2)经过点P(2,-3),且倾斜角为45°的直线方程为 (D) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+5=0 D.x-y-5=0 解析　倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°=1,又该直线经过点P(2,-3),所以用点斜式求得直线的方程为y+3=x-2,即x-y-5=0。 类型二　求直线的斜截式方程 　　【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程: (1)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3; (2)与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4; (3)在y轴上的截距为-6,且与y轴夹角为60°。 解　(1)因为直线的倾斜角为60°,所以斜率k=tan 60°=。因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3,故所求直线的斜截式方程为y=x+3或y=x-3。 (2)直线y=2x+1的斜率k=2,则与直线y=2x+1垂直的直线的斜率k'=-,故所求直线的斜截式方程为y=-x+4。 (3)与y轴相交夹角为60°的直线倾斜角为30°或150°,所以斜率k为tan 30°或tan 150°,即k=±,故所求直线的斜截式方程为y=±x-6。 　　斜截式方程的特点及应用 (1)若能求得直线的斜率,且直线在y轴上的截距已知,可选用直线的斜截式方程直接求解直线方程。 (2)根据k,b的正负判断斜率和截距的几何意义时,k>0⇔直线呈上升趋势;k<0⇔直线呈下降趋势;k=0⇔直线呈水平状态。b>0⇔直线与y轴的交点在x轴上方;b<0⇔直线与y轴的交点在x轴下方;b=0⇔直线过原点。 　　【变式训练】　(1)直线y=2x-3在y轴上的截距是 (D) A.3 B.2