2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 情境导入 课程标准 　　 过山车是一种富有刺激性的游乐设施。实际上,过山车的运动包含了许多数学、物理学原理。过山车的两条铁轨是永远平行的轨道,它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着。你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢? 能根据直线的斜率判定两条直线的位置关系。 自主预习明新知 两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 (1)定理: 平行 垂直 等价条件 l1∥l2⇔k1=k2 l1⊥l2⇔k1k2=-1 (2)本质:从数的角度刻画两条直线的位置关系。 微提醒 在判断两条直线位置关系时,要注意两条直线是否重合以及斜率不存在这种特殊情况。 微思考 1.如果两条直线平行,则这两条直线的斜率一定相等吗? 提示:不一定,当两条直线都没有斜率时两条直线也可能平行。 2.如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗? 提示:不一定,它们可能是一条直线斜率为0,另一条没有斜率。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　两条直线平行的判定及应用 　　【例1】　根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行。 (1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7); (2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3); (3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2); (4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5)。 解　(1)由题意知,k1==-,k2==-,所以直线l1与直线l2平行或重合,又kBC==-≠-,故l1∥l2。 (2)由题意知,k1==1,k2==1,所以直线l1与直线l2平行或重合,kFG==1,故直线l1与直线l2重合。 (3)由题意知,k1=tan 60°=,k2==,k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合。 (4)由题意知,l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴。所以l1∥l2。 　　判断两条不重合直线是否平行的步骤 首先看两条直线的斜率,若都不存在,则平行;若都存在斜率,则看斜率是否相等,若相等,则平行,若不相等,则不平行。 　　【变式训练】　(1)经过两点C(3,1),D(-2,0)的直线l1,与经过点M(1,-4)且斜率为的直线l2的位置关系为 (A) A.平行 B.垂直 C.重合 D.无法确定 解析　因为==,所以=。又因为kMD==-≠,所以l1与l2不重合,所以l1与l2平行。 (2)在△ABC中,顶点A(0,3),B(2,-1),E,F分别为边AC,BC的中点,则直线EF的斜率为 -2 。  解析　因为E,F分别为边AC,BC的中点,所以EF∥AB。所以kEF=kAB==-2。 类型二　两条直线垂直的判定及应用 　　【例2】　(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直。 解　(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2。 (2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值。 解　由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在。当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意。当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1==,k2==。由l1⊥l2,知k1k2=-1,即×=-1,解得a=0。综上所述,a的值为0或5。 　　两直线垂直的判断方法 两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线的斜率都存在。若其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,此时两直线也垂直。 　　【变式训练】　(1)若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与经过点(-2,1)斜率为-的直线垂直,则实数a的值为 (A) A.- B.- C. D. 解析　易知a=0不符合题意。当a≠0时,直线l的斜率k==-,由-·-=-1,得a=-。故选A。 (2)以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是 (C) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以A点为直角顶点的直角三角形 D.以B点为直角顶点的直角三角形 解析　如图所示,易知kAB==-,kAC==,由kAB·kAC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形。 类型三　两条直线平行与垂直的综合应用 　　【例3】　已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判断图形ABCD的形状。 解　A,B,C,D四点在