1.4.2 第2课时 夹角问题 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

第2课时　夹角问题 情境导入 课程标准 　　 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,在地球公转的同时自身也绕“地轴”自转,地轴与地球的赤道面垂直,黄道面与赤道面的交角称为“黄赤交角”,黄赤交角约为23°26'。 1.理解直线与平面所成角的概念。 2.会用向量法求线线、线面、面面夹角。 3.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系。 自主预习明新知 1.两条异面直线所成的角 设异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ=|cos<u,v>|=||=。 2.直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|=||=。 3.平面与平面的夹角 (1)两平面的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角。 (2)两平面夹角的计算:若平面α,β的法向量分别是n1,n2,设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos<n1,n2>|=||=。 微思考 1.两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角是什么关系? 提示:相等或互补。 2.直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量的夹角吗? 提示:不等于,直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法向量夹角(或其补角)互余。 3.两个平面所成的二面角就是两个平面的法向量的夹角吗? 提示:不一定,是法向量的夹角或其补角。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线与直线所成的角 　　【例1】　如图所示,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成角的大小。 解　分别以直线BC,BA,BB1为x,y,z轴 ,建立空间直角坐标系(如图)。设AB=1,则B(0,0,0),E,F0,0,,C1(1,0,1),所以=, =(1,0,1)。于是cos<,>===,所以直线EF和BC1所成角的大小为60°。 　　利用向量法求两条异面直线所成角的步骤: (1)确定两条异面直线的方向向量; (2)确定两个向量夹角的余弦值; (3)比较余弦值与0的大小,以确定向量夹角的范围; (4)确定异面直线所成的角与向量夹角的关系,得出两条异面直线所成的角。 　　【变式训练】　正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值是  。  解析　不妨设正方体棱长为2,分别取DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,-1,2),所以||=,||=,·=-1+0+4=3。所以cos<,>==。所以异面直线AE与CF所成角的余弦值为。 类型二　直线与平面所成的角 【例2】　如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点。 (1)求证:PB⊥DM; (2)求BD与平面ADMN所成角的大小。 解　如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),M。所以=(2,0,-2),=1,-,1,=(0,2,0),=(2,-2,0)。 (1)证明:因为·=(2,0,-2)·=0,所以PB⊥DM。 (2)因为·=(2,0,-2)·(0,2,0)=0,所以PB⊥AD。又因为PB⊥DM,AD∩DM=D,所以PB⊥平面ADMN,即为平面ADMN的一个法向量,则cos<,>===,设直线BD和平面ADMN所成的角为θ,所以sin θ=|cos<,>|=,所以BD和平面ADMN所成的角为。 　　利用法向量求直线与平面所成角的步骤 (1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量; (3)求平面的法向量n; (4)计算:设线面角为θ,则sin θ=。 【变式训练】　如图所示,在直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1,AD=AA1=3。 (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。 解　(1)证明:以A为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(,1,0),B1(,0,3),D(0,3,0),C1(,1,3),D1(0,3,3)。易知=(,1,0),=(-,3,-3),所以·=0,所以AC⊥B