1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

第3课时　空间中直线、平面的垂直 情境导入 课程标准 　　 观察图片,图中旗杆所在直线和地面垂直,那么旗杆所在直线的方向向量与地面的法向量有什么关系呢?如何判定直线、平面的垂直关系是今天我们所要学习的内容。 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系。 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理。 自主预习明新知 1.直线与直线垂直的判定方法 如图,设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0。 2.直线与平面垂直的判定方法 如图,设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn。 3.平面与平面垂直的判定方法 如图,设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0。 微思考 1.怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系? 提示:一般地,直线与直线垂直,就是两直线的方向向量垂直;直线与平面垂直,就是直线的方向向量与平面的法向量平行;平面与平面垂直,就是两平面的法向量垂直。 2.证明直线、平面的垂直关系有哪些方法? 提示:方法一:(几何法)利用线、面垂直的判定定理与性质定理证明直线、平面的垂直关系;方法二:(向量法)利用直线的方向向量与平面的法向量的平行关系证明直线、平面的垂直关系。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　证明线线垂直 　　【例1】　(1)设l1的方向向量为a=(1,2,-2),l2的方向向量为b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则m= (C) A. B.1 C.2 D.3 解析　由题意可得a⊥b,所以a·b=0,所以1×(-2)+2×3+(-2)×m=0,所以m=2。 (2)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点。求证:EF⊥CD。 证明　以DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F,所以=,=(0,a,0),因为·=·(0,a,0)=0,所以EF⊥DC。 　　利用向量证明线线垂直的方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线互相垂直。 (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线的方向向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线的方向向量的数量积等于0,从而证明两条直线互相垂直。 　　【变式训练】　在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,B1C⊥A1B。求证:AC1⊥A1B。 证明　如图,建立空间直角坐标系,设AB=a,CC1=b。则A1a,,0,B(0,a,b),B1(0,a,0),C(0,0,b),Aa,a,b,C1(0,0,0)。于是=-a,a,b,=(0,-a,b),=-a,-,-b。因为B1C⊥A1B,所以·=-+b2=0,所以·=a2-a2-b2=-b2=0,所以⊥,即AC1⊥A1B。 类型二　证明线面垂直 【例2】　如图所示,正三棱柱ABC⁃A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点。求证:AB1⊥平面A1BD。 证明　如图所示,取BC的中点O,连接AO,因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC。因为在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1, 平面ABC∩平面BCC1B1=BC,所以AO⊥平面BCC1B1。取B1C1的中点O1,以O为原点,以,O,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0)。所以=(1,2,-),=(-1,2,),=(-2,1,0)。 证法一:因为·=1×(-1)+2×2+(-)×=0,·=1×(-2)+2×1+(-)×0=0。所以⊥,⊥,即AB1⊥BA1,AB1⊥BD。又因为BA1∩BD=B,BA1,BD⊂平面A1BD,所以AB1⊥平面A1BD。 证法二:设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则有n⊥B,n⊥,故⇒令x=1,则y=2,z=-,故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,而=(1,2,-)=n,所以∥n,故AB1⊥平面A1BD。 　　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一:(1)建立空间直角坐标系。 (2)将直线的方向向量用坐标表示。 (3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量。 (4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0。 方法二:(1)建立空间直角坐标系。 (2)将直线的方向向量用坐