1.3.2 空间向量运算的坐标表示 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 情境导入 课程标准 一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石。这三个力分别为F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1|=3 000 N,|F2|= 2 000 N,|F3|=2 000 N。若以F1,F2,F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则巨石所受合力F的坐标是什么? 1.掌握空间向量线性运算的坐标表示。 2.掌握空间向量数量积的坐标表示。 自主预习明新知 1.空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 (2)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)。则有 向量运算 坐标表示 加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R) 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 2.空间向量的平行、垂直及模和夹角 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a=λb(b≠0) a1=λb1,a2=λb2, a3=λb3(λ∈R) a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a|= |a|= 夹角 cos<a,b>= cos<a,b>= 3.空间两点间的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=||=。 微思考 1.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则一定有==成立吗? 提示:不一定,当b1,b2,b3存在取0值时不成立。 2.当0<cos<a,b><1,及-1<cos<a,b><0时,夹角的范围是? 提示:当0<cos<a,b><1时,0<<a,b><,为锐角。 当-1<cos<a,b><0时,<<a,b><π,为钝角。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间向量的坐标运算 　　【例1】　(1)已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),则(2a+3b)·(a-b)= -4 。  解析　易得2a+3b=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4。 (2)若2a-b=(2,-4,3),a+2b=(1,3,-1),则cos<a,b>= - 。  解析　设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),由题设可得解得同理可得y1=-1,y2=2,z1=1,z2=-1,即a=(1,-1,1),b=(0,2,-1),则a·b=0-2-1=-3,|a|=,|b|=,所以cos<a,b>==-。 　　关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算。 (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来,然后通过建立方程(组),解方程(组)求出其坐标。 　　【变式训练】　(1)已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),则a-b+2c= (-4,8,-5) 。  解析　a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5)。 (2)已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q= -1 。  解析　因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1。 类型二　利用空间向量解决平行与垂直问题 　　【例2】　如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点。求证: (1)AM∥平面BDE; (2)AM⊥平面BDF。 证明　(1)如图,建立空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别为,,0,(0,0,1)。所以=-,-,1。又点A,M的坐标分别是(,,0),,,1,所以=-,-,1。所以=。又NE与AM不共线,所以NE∥AM。又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE。 (2)由(1)知=-,-,1。因为D(,0,0),F(,,1),所以=(0,,1),所以·=0,所以⊥,即AM⊥DF。同理,⊥,即AM⊥BF。又DF∩BF=F,且DF⊂平面BDF,BF⊂平面BDF,所以AM⊥平面BDF。 　　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数值,则利用平行、垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解。 (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直,则