1.1.2 空间向量的数量积运算 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 情境导入 课程标准 　　在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算,由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,因此,两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义。 1.掌握空间向量数量积的定义及性质。 2.掌握投影向量的定义及空间向量数量积的运算律。 3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题。 自主预习明新知 1.空间向量数量积的概念及性质 (1)空间向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>。 如果<a,b>=,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b。 (2)空间向量数量积的定义 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b。即a·b=|a||b|cos<a,b>。 特别地,零向量与任意向量的数量积为0。 (3)空间向量数量积的性质 由向量的数量积定义,可以得到: a⊥b⇔a·b=0; a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2。 2.空间向量的投影向量及运算律 (1)投影向量 如图①,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos<a,b>,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。类似地,可以将向量a向直线l投影(图②)。 　　　 ①　　　　　　　②　　　　　　　③ 如图③,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为,得到向量,向量称为向量a在平面β上的投影向量。这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角。 (2)空间向量的数量积满足的运算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R; a·b=b·a(交换律); (a+b)·c=a·c+b·c (分配律)。 微提醒 1.(1)向量的夹角与直线夹角范围的区别:两向量夹角的范围为[0,π],两直线夹角的范围为。 (2)当<a,b>=0时,a与b同向;当<a,b>=π时,a与b反向;当<a,b>=时,a与b垂直。 2.空间向量的数量积不满足结合律。 微思考 1.<a,b>,<-a,b>,<a,-b>,<-a,-b>,它们有什么关系? 提示:<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;<-a,-b>=<a,b>。 2.由a·b=a·c能得到b=c吗? 提示:不能。 3.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c,则a=。对于向量a,b,若a·b=k,能不能写成a=的形式? 提示:不能,向量没有除法运算。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间向量的数量积运算 　　【例1】　如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: (1)·; (2)·; (3)·。 解　(1)·=·=||||·cos<,>=×1×1×cos 60°=,所以·=。 (2)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 0°=,所以·=。 (3)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 120°=-,所以·=-。 　　求空间向量的数量积的步骤 (1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清; (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角余弦值的乘积; (3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解。 　　【变式训练】　(1)已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b= (A) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为p⊥q且|p|=|q|=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1。 (2)已知棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则·的值为 (C) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　=+=+(+)=+(+),=+,则·=(||2+||2)=1。故选C。 类型二　利用空间向量的数量积求夹角 　　【例2】　已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,四边形ABB1A1和BB1C1C都是正方形,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角。 解　如图所示。因为=+,=+,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·。因为AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,所以·=0,·=0,·=0且·=-a2。所以·=-a2。又·=||·||cos<,>,所以cos<,>==-。又因为<,>∈[0,π],所以<,>=120°,又因为异面直线所成的角是锐角或直角,所以异面直线BA1与AC所成的角为60°。 　　利用向量的数量积,求异面直线所成角的方法 (1)根据题设条件在所求的异面