第11讲 一元二次方程根与系数的关系（5种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第11讲 一元二次方程根与系数的关系（5种题型） 【知识梳理】 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 【考点剖析】 题型1：求根与系数关系 例1．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值得为___________． 【变式】（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则________． 题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值 例2．（2023·山东济宁·统考二模）已知方程的两根分别为、，则的值为（    ） A．1 B． C．2023 D． 【变式1】（2023·江苏南京·统考二模）已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是______． 【变式2】（2023·湖北鄂州·统考二模）若实数分别满足，且，则代数式的值为______． 【变式3】（2023·江西吉安·统考一模）已知方程的两个解分别为，则的值为_______． 【变式4】（2023·江苏泰州·统考二模）关于x的方程的两个实根分别为，，则_______． 题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围） 例3．（2023·河北邯郸·统考三模）已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值为____________，的值是__________． 【变式1】已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是_____. 【变式2】（2023·山东日照·统考二模）关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________； 题型4：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值 例4．（2023·山东济南·统考三模）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是______． 【变式1】（2023·北京海淀·统考二模）已知关于的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根． 题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题 例5.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长． 【变式1】已知关于x的方程有两根，其中且，求m的取值范围． 【变式2】已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围． 【过关检测】 一、单选题 1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（         ） A． B． C． D． 3．（2023·河南南阳·统考三模）若方程有一个根是1，则另一个根是（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2023·河北廊坊·校考三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这两个根的和是（    ） A．6 B．3 C． D． 5．（2023·山东·统考中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 6．（2023·全国·九年级专题练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 7．（2023·湖北省直辖县级单位·校联考二模）已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　） A． ，1 B． ， C．3， D．3，1 9．（2023·山东泰安·统考三模）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．2023 B．2025 C．2027 D．2028 10．（2023·四川泸州·统考二模）设与为一元二次方程的两根，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2020秋·广东中山·九年级中山市华侨中学校考期中）若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的对角线长度为______． 12．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________． 13．（2023·全国·九年级专题练习）已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________． 14．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________． 15．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）若一元二次方程的两根分别为，则___________． 16．（2023·江苏·九年级假期作业）设是方程的两个根，且，则m＝______． 17．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）