第10讲 用因式分解法求解一元二次方程 （6种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第10讲 用因式分解法求解一元二次方程 （6种题型） 【知识梳理】 一、用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 二、常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【考点剖析】 题型1利用提公因式法 例1.解关于的方程（因式分解方法）： （1）； （2）． 【变式】（2023春·北京房山·八年级统考期末）方程的解为：___________． 题型2利用平方差公式 例2.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0． 【变式】解关于的一元二次方程：． 题型3利用完全平方公式 例3.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； 题型4十字相乘法因式分解 例4.用合适的方法解下列关于的方程： （1）； （2）； 题型5：选择合适的方法解一元二次方程 例5.解关于的方程（合适的方法 ）： （1）； （2）． 【变式1】解关于的方程（合适的方法）： （1）； （2）． 【变式2】用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型6：因式分解中的新定义 例6．（2023·贵州遵义·统考二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 【变式】在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（ ） A．或 B． C．或 D． 【变式2】定义新运算“※”，规则： ，如，．若的两根分别为，则______． 题型7：因式分解综合应用 例7.在一堂数学课上，李老师对课本上的一道习题进行了改编，改编后的习题为：一架梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙角距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，此时点将向外移动米，（参考数据：，，）      (1)问梯子的长是多少？ (2)若梯子的长度保持不变，梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你利用学过的知识解答上面的问题． 【变式1】（2023·河北石家庄·统考二模）老师就式子，请同学们自己出问题并解答． (1)小磊的问题：若代表，代表，计算该式的值； (2)小敏的问题：若，代表某数的平方，代表该数与1的和的平方，求该数． 【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积； 验证：连续整数，，______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 连续整数2，3，4，______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 延伸：设中间整数为n （1）列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简； （2）再写出一组符合“发现”要求的连续整数（直接写结果）． 【过关检测】 一、单选题 1．（2023·全国·九年级假期作业）方程的根是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·九年级假期作业）已知的解是，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2023·全国·九年级假期作业）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是(　　) A． B． C．或 D．或或 4．（2023秋·广西河池·九年级统考期末）若实数x，y满足，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或3 5．（2023·江苏·九年级假期作业）方程：的较小的根是（   ） A． B． C． D． 6．（2023·云南楚雄·统考二模）已知，则代数式（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2023·全国·九年级假期作业）实数满足方程，则的值等于（   ） A． B． C．或 D．或 8．（2023·全国·九年级假期作业）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(    ) A．1 B． C． D．2 9．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）我国古代