专题16 全等三角形的辅助线问题-【一遍过】2023年暑假七年级升八年级数学考点衔接一遍过（人教版）

专题16 全等三角形的辅助线问题 1．【截长补短】（2022·全国·八年级假期作业）如图所示，在三角形ABC中，，，作的平分线与AC交于点E，求证：. 2．【倍长中线】（2021·湖北襄阳·模拟预测）【问题提出】 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围. （1）【问题解决】 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线的取值范围. （2）【应用】 如图②，在中，为的中点，已知，，，求的长. （3）【拓展】 如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连接．已知，，求的长. 3．【截长补短】（2023秋·山西朔州·八年级校考期末）（1）问题背景：如图①：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________； （2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 4．【作垂线】（2022秋·重庆江津·八年级统考期末）（1）问题：如图①，在四边形中，，是上一点，，．求证：； （2）问题：如图②，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 5．【作平行线】（2022秋·八年级课时练习）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN． （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 6．【作垂线】（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！ 【探究一】如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数． 【探究二】阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等.例如：如图3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC、△A’B’C’的边BC、B’C’上的高，那么容易证明AD=A’D’.小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由． 【探究三】在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请你写出它们之间的关系，并说明理由． 7．（2023春·全国·八年级专题练习）在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图，当点在线段上，如果，则______度． （2）设，． ①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． ②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 8．【截长补短】（2023秋·上海浦东新·八年级校考期中）在中，，，点在直线上（，除外），的垂线与的垂线交于点，研究和的数量关系. （1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取边的中点（如图），通过推理证明就可以得到的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_____________________ （2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论； （3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论. 9．【截长补短】（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为