第02讲 平面向量的数量积及其应用（七大题型）（课件）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第02讲 平面向量的数量积及其应用 导师：稻壳儿 高考一轮复习讲练测 2024 01 02 03 04 目录 CONTENTS 考情分析 网络构建 知识梳理 题型归纳 真题感悟 01 PART ONE 考情分析 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义． （2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义． （3）了解平面向量基本定理及其意义 （4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 2023年I卷第3题，5分 2023年II卷第13题，5分 2023年甲卷（理）第4题，5分 2022年II卷第4题，5分 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点． 02 PART ONE 网络构建 03 PART ONE 知识梳理 题型归纳 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 则 ________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积，记作_____. ∠AOB |a||b|cos θ a·b 投影 投影向量 |a|cos θ e 4.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝_________. a·c＋b·c   几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝__________ 模 |a|＝_______ |a|＝__________ 夹角 cos θ＝______ cos θ＝______________ a⊥b的充要条件 a·b＝0 _____________ 5.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) _____________ |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时 等号成立) x1y2－x2y1＝0 常用结论 1.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b. (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 【例1】（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【解析】由，且与的夹角为， 所以 . 故选：B. 题型一：平面向量的数量积运算 【对点训练1】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图所示直角坐标系： 则， 设，则 且， ，解得， ， 在矩形中，为的中点， 所以，由， 所以， ， 故选：D. 【解题方法总结】 （1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛． 题型一：平面向量的数量积运算 【例2】（2023·河南驻马店·统考二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________． 【答案】 【解析】设向量，的夹角为，因为， 所以． 又，所以， 所以． 题型二：平面向量的夹角 【对点训练2】（2023·四川·校联考模拟预测）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________. 【答案】 【解析】是夹角为的两个单位向量， 则， ， ， ，， ，. 故答案为： 题型二：平面向量的夹角 【对点训练3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为______． 【答案】 【解析】， 则，则， 又，