1.4 充分条件与必要条件7种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

1.4 充分条件与必要条件7种常见考法归类 1、符号“⇔”的含义 “⇔”表示“等价”,如“与等价”指的是“如果，那么”，同时有“如果，那么”，或者说“从推出”，同时可“从推出”. 2、对充分条件与必要条件的理解 (1)对“推出”的正确理解 对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． 3、充分条件、必要条件的判断方法 注：（1）充分条件的判断方法 ①判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． ②除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． （2）必要条件的判断方法 ①判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． ②也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 4、充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． (3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值． 5、对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要使q成立，必须且只需p成立． (2)对充要条件的词义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成立”等． (3)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，也就是说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 6、条件关系判定的常用结论 7、“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别 (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 8、p是q的充要条件的证明 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 9、探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 10、应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 11、充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 注:充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 充分条件的判断 考点二 必要条件的判断 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 考点五 充分、必要、充要条件的判断 （一）充分不必要条件的判断 （二）必要不充分条件的判断 （三）充要必要条件的判断 （四）既不充分也不必要条件的判断 考点六 充要条件的证明 考点七 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 （二）依据必要不充分条件求参数 （三）依据充要条件求参数 （四）依据既不充分也不必要条件求参数 考点一 充分条件的判断 1