第十六章 二次根式-2023-2024学年八年级数学上册同步知识+题型培优讲义（沪教版）

第十六章 二次根式 1．了解二次根式的定义． 2．会根据二次根式的定义解决相关含参问题以及复合型二次根式化简问题． 3．会将二次根式化为最简二次根式，能够识别同类二次根式． 4．理解二次根式的乘除法则，会运用法则进行二次根式的乘除运算． 5．理解二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算 一、二次根式 1.二次根式的定义 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，称为二次根号 2.二次根式有意义的条件： 若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可．即当 时，有意义． 注意： （1）二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式． （2） 是 为二次根式的前提条件． （3）形如 （ )的式子也是二次根式，它表示m与 的乘积． （4）当式子中既有二次根式又有分式时，要保证式子有意义，就要同时保证被开方数大于等于0且分母 不为0． 二、二次根式的乘法法则 1．一般地，二次根式的乘法法则是： , 即两个二次根式相乘，等于各个被开方数乘积的算术平方根． 2.把反过来，就得到了积的算术平方根的性质： = 积的算术平方根，等于各个因式的算术平方根的积 作用：可以用它来进行二次根式的化简． 注意： ①a、b必须都是非负数。 ②拓展：=(,)。 ③=一定要有的限定条件。 三、二次根式的除法法则 1.一般地，二次根式的除法法则是： 即两个二次根式相除，算术平方根的商等于商的算术平方根． 2.把=反过来就得到； = 商的算术平方根，等于各个因式的算术平方根的商． 四、最简二次根式 最简二次根式的定义： （1）被开方数中不含分母．即根号内无分母，分母内无根号． （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．即开方得开尽． 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. 注意： 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 五、同类二次根式 1．如果几个二次根式化成最简二次根式后它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次 根式． 注意： （1）前提条件：二次根式是最简二次根式． （2）被开方数相同 六、二次根式的加减法则 1.二次根式的加减 （1）二次根式的加减实质：先化简（化为最简二次根式），后合并（合并同类二次根式）． （2）二次根式的加减步骤： ①一化：将每个二次根式化为最简二次根式． ②二找：找出同类二次根式． ③三合并：合并二次根式． 注意： ① 二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并． 如是最简二次根式，不能合并． ② 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式，如，不能写成 的形式． ③ 合并同类二次根式后，若系数为多项式，需添加括号，如（）. 题型一 二次根式的概念和性质 【例题1-1】如果，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题1-2】若a、b、c满足，，，，，则下列说法中：（1）中两负一正，（2），（3），（4），（5）．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-3】下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【例题1-4】下列各组中的两个式子，不属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】若等式成立，则x的取值范围为___________． 【变式1-2】实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后 _____．    【变式1-3】计算_________． 【同步测试1-1】如果两个最简二次根式与能合并，那么________． 【同步测试1-2】与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【同步测试1-3】我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴． (1)直接写出答案：= ；= ． (2)化简：． (3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？ 题型二 二次根式的运算 【例题2-1】估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【例题2-2】化简结果为的单项式是（    ） A． B． C． D． 【例题2-3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题2-4】下列运算中错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】先化简，后求值：，其中 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根