24.3 相似三角形（讲+练）-2023-2024学年九年级数学上册同步知识+题型培优讲义（沪教版）

24.3 相似三角形 1．了解相似三角形的定义； 2．掌握相似三角形的判定定理，运用合理的方法判定两三角形相似； 3. 了解相似三角形判定定理的证明； 4. 掌握相似三角形的基本性质. 1.相似三角形的定义 相似三角形： 形状相同的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 相似用符号，读作“相似于”． 如图所示： 【注意】 （1）与表示两个三角形全等类似，表示两个三角形相似时，经常把表示对应角顶点的字母写在对应位置上． （2）当k=1时，两个三角形全等，所以全等是特殊的相似，但相似不一定全等. 2.相似三角形的判定 判定定理1——预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定定理2： 两角分别相等的两个三角形相似． 判定定理3： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 = , 3.相似三角形的性质 边、角的性质:相似三角形对应角相等 ，对应边成比例 对应三线的性质: 相似三角形中对应边/角上的中线、高线、角平分线成比例且等于相似比. 周长、面积的性质: 相似三角形的周长比等于相似比 ；相似三角形的面积比等相似比的平方 . 题型一 相似三角形的判定 【例题1-1】如图，在中，.则图中相似三角形共有（　　）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【例题1-2】在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例题1-3】如图，点P是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【例题1-4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．    (1)___________°； (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． 【变式1-1】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1-2】如图，，那么图中相似的三角形有哪几对？    【变式1-3】在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由． (1)，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【同步测试1-1】如图，在中，，，，将沿着图示中的虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法． (1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）； (2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 【同步测试1-2】如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上． 求证：． 【同步测试1-3】已知，是边上的一点，连接，请你添加一个条件，使，这个条件可以是__．（写出一个即可）    题型二 相似三角形的性质 【例题2-1】题目：如图，的三边均不相等，在此三角形内找一点O，使得，，的面积均相等．甲、乙两人的做法如下，判断正确的是（    ）    A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲错误，乙正确 D．甲正确，乙错误 【例题2-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 【例题2-3】如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为____________．    【例题2-4】如图，在平面直角坐标系中，已如，，，在坐标轴上有一点，它与,两点形成的三角形与相似，则点的坐标是______．    【例题2-5】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．    【变式2-1】如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图．    (1)在图（1）中，先在上画点D，使平分；再在上画点E，使； (2)在图（2）中，点P在上，先将线段绕B点逆时针旋转的度数，画出对应线段，再在上画点Q，使． 【变式2-2】如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．    (1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______； (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将