24.1&24.2 相似形和比例线段（讲+练）-2023-2024学年九年级数学上册同步知识+题型培优讲义（沪教版）

24.1&24.2相似形和比例线段 1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3. 掌握相似图形的概念及相似多边形的性质. 1.比例线段 对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如(即a:b=c:d), ，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段, 简称比例线段．也称这四条线段成比例 a、d叫做比例外项, b、c叫做比例内项 三条线段(即a:b=b:c),b叫做a和c的比例中项 在比例式中，内项积=外项积，即ad=bc ． 判断四条线段是否是成比例线段的方法： 1、先将线段长度的单位统一并按长度的大小排序． 2、判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；或判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等． 3、若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段为不成比例线段． 可简记为：“一排(排顺序)、二算(算比值或乘积)、三判(判断是否是成比例线段)”． 2.平行线分线段成比例 基本事实：平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ． 如图：AB CD EF,则 3.相似图形 形状相同的图形叫做相似图形． 【注意】 ①相似图形的大小不一定相同． ②形状和大小都相同的图形称为全等图形，全等图形是特殊的相似图形． 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 相似多边形的判定： 如果两个多边形对应边成比例、对应角相等，那么这两个多边形相似 题型一 比例线段 【例题1-1】小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 【例题1-2】如图，中，为边上一点，过作交于，为的中点，作交于，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【例题1-3】如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 【例题1-4】在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为，宽为的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片①”中，较长直角边=______．    【变式1-2】小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：__________      【变式1-3】（1）是和的比例中项，则_____； （2）是和的比例中项，则_____； （3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是_____． 【同步测试1-1】（1）若，，则___________； （2）若，，则___________； （3）若，，则___________． 【同步测试1-2】小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图，在中，的平分线交于点，发现．小明想通过证明来验证这个结论．    证明：延长至，使得，请你完成上述证明过程： 结论应用： 已知在中，，，边上有一动点，连接，点关于的对称点为点，连接交于点． (1)如图2，当，，求的值． (2)如图3，当，与的边垂直时，求的值．    【同步测试1-3】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接．    根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长． 【同步测试