第09讲 用公式法求解一元二次方程-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第09讲 用公式法求解一元二次方程 【知识梳理】 一、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ，这就是一元二次方程（）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 4、 根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 五、根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 【考点剖析】 一．解一元二次方程-公式法（共12小题） 1．（2023•西和县一模）用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（　　） A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60 2．（2023•宜兴市一模）方程x2﹣3x＝1的解是 　 　． 3．（2023•碑林区校级三模）关于x的方程x2﹣x+＝9的解是 　 　． 4．（2022秋•漳州期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{1，3}＝3，按照这个规定，方程Max{1，x}＝x2﹣6的解为 　 　． 5．（2023•西安校级三模）用适当的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0． 6．（2022秋•东莞市期末）解方程：x2﹣4x+7＝10． 7．（2023•泉州一模）小明在解方程x2﹣5x＝﹣3的过程中出现了错误，其解答如下： 解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，……第一步 ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣3）＝37，……第二步 ∴x＝，……第三步 ∴x1＝，x2＝．……第四步 （1）问：小明的解答是从第 　 　步开始出错的； （2）请写出本题正确的解答． 8．（2022秋•衡山县期末）下列方程中，以x＝为根的是（　　） A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0 9．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步）， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）． ∴x＝，（第三步）． ∴x1＝，x2＝（第四步）． 小明是从第 　 　步开始出错． 10．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（　　） A． B． C． D． 11．（2022秋•德城区期末）用公式法解方程2x2﹣1＝0，其中b2﹣4ac＝　 　． 12．（2023•遂平县一模）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是　 　．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝． 二．根的判别式（共11小题） 13．（2023•永城市二模）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 14．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0 15．（2023•金平区三模）一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0有两个实数根a，b，那么一次函数y＝（1﹣ab）x+a+b的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．（2023•容县一模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n×