第2课时 用公式法求解一元二次方程在实际生活中的应用-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

第●章一元二次方程 第2课时 用公式法求解一元二次方程在实际生活中的应用 优基础培优题 挖摇教村，高于教材 知识点一。图形的面积问题 2.如图，一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮， 一题两用（理解知识·激活思维） 将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩 1.空地上有一段长为am的旧墙MN,利用旧 形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是 墙和木栏围成一个矩形菜园（如图①或图② 24cm的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方 两种不同的围法)，已知木栏总长为40m,所 形的边长为 围成的菜园面积为Sm N M 12 cm 图节 图2 基础设问 (1)若a=20,S=198,则有多少种围法？ 10cm 为什么？ A号m B.1cmC.号cmD.2cm 3.(教材P45T2变式)如图（示意图），利用一面 墙（墙EF最长可利用25m)围成一个矩形 花园ABCD,与墙平行的一边BC上要预留 2m宽的入口（图中MN所示，不用砌墙）， 现有砌60m长的墙的材料 25m (2)若a=24,S=198,则有多少种围法？ 为什么？ 2 m (1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的 面积为300m2? (2)能否围成面积为480m的矩形花园？为 什么？ 延展设问 (3)若a=20,当矩形菜地的宽为多少米 时，矩形菜地面积取得最大值？菜地的最 大面积是多少？ 知识点二三。其他实际问题 4.某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主 客场形式（每两队之间在主客场各比赛一 场)，已知共比赛了30场次，则队伍共有 A.4支B.5支C.6支D.7支 29 智学酷提优精练数学九年级上册(BS) 5.(教材P54做一做变式)某头盔经销商购进一 (1)若此单位需购买5件商品，去哪家公司购 种头盔，进货价为30元/个，当售价为40元/个 买花费较少？ 时，月销售量为600个，若在此基础上售价每 (2)若该单位计划购买a(a<20)件商品，经 上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月 过对比发现，在两家公司购买相差24元，试 销售利润达到10000元，并且商家尽可能少 求a的值. 进货，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？ 优能力提升题 综合应用，提升能力 状素养创新题 挑战创斯，素养发展 6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90 10.如图，在矩形ABCD中， AB=12cm,AC=13cm,点M AB=12cm,BC=6cm,点P 从点A出发沿边AB向点B以 从点C出发以1cm/s的速度 2cm/s的速度移动，同时点V M 沿CB边向点B移动，点Q 从点B出发沿BC边向点C以 从点D出发以2cm/s的速度沿DC边向 1cm/s的速度移动.当一个点先 点C移动，P,Q分别从C,D同时出发，设 到达终点时，另一个点也停止运 B 八V-来 运动时间为1s(0≤1≤6). 动，当△MBN的面积为9cm2时，点M,N (1)经过几秒，△PCQ是等腰 的运动时间为 三角形？ A.2 s B.3 s C.4s D.5s (2)是否存在某一时刻，△PCQ 7.(易错题)若关于x的一元二次方程x2一10x十 的面积是矩形ABCD的面积 m=0的两个实数根分别是x1,x2,且以x1, 的一半？ x2,6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则 (3)是否存在某一时刻，B+P m的值为 △APQ的面积是6cm2? 8某地有1人感染了某病毒，因为没有及时隔 (4)经过几秒，△APQ是等腰三角形？ 离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染 了该病毒，那每轮传染中平均1人传染了 人：如果不及时控制，照这样的传染 速度，经过三轮传染后，一共有 人感 染此病毒， 9.有一批商品，原售价为每件40 元，在甲、乙两家公司销售.甲公 司用如下方法促销：买一件单 价为39元，买两件每件都为38 元，依此类推，即每多买一件，则所买各件单 价均再碱1元：乙公司一律按原售价的七五 折促销某单位需购买这批商品. 30所以△=(2)产-4m·2=42-2mn. 为(32-x)m由32-x>24,可得0x<8. 所以x(32-x)=198,解得x=16士√58，经 因为产-m+ 检验均不合题意，舍去， 综上所述，有两种围法 所以△=m2十n2一2mn=(m一n)≥0， (3)①如题图①：设矩形菜园的宽为xm,则 所以关于x的“菱系一元二次方程”mx2十 矩形的长为(40一2x)m,10≤x<20, 2+宁m=0必有实数根， 所以S=.x(40-2.x)=-2x2+40x, 第2课时用公式法求解一元二次方程 配方，得S=-2(x一10)+200， 在实际生活中的应用 故当x=10时，矩形菜地面积最大，最大值是 1解：(1)有两种围法理由如下： 200m2. ①如题图①：设矩形菜园的宽为xm,则矩形 ②如题图②：设矩形菜园的宽为xm,则矩形 的长为(40一2x)m.由40一2.x≤20，可得10≤ 的两个长的和为(40一2x十20)m,故矩形的 x<20. 长为(30-x)m. 当a=20.S=198时， 由30一x>20,可得0<x<10. 则-2x2+40x=198.即x2-20.x十99=0. 所以S=x(30-x)=-x2+30.x, 所以△=(-20)2一4×99=4>0. 配方，得S=-(x-15)2+225, 所以x=20±④ 因为x=15不在0<x<10范围内. 2 =10士1， 所以S取不到最大值。 解得x1=9(不符合题意，舍去)，x:一11. 综上所述，当x=10时，矩形菜地面积最大， ②如题图②：设矩形菜园的宽为xm,则矩形 最大值是200m2. 的两个长的和为(40一2x+20)m,故矩形的 2.D 长为(30-x)m. 3.解：(1)当矩形的长BC为12m时，矩形花园 由30-x>20,可得0<x<10. 的面积为300m2,. (2)不能围成面积为480m2的矩形花园.理由 所以x(30-x)=198.解得x=15土3v3, 如下： 经检验x=15十33不合题意，舍去 综上所述，有两种围法 设BC-ym,则AB=60=y+2 m. 2 (2)有两种围法.理由如下： ①如题图①：设矩形菜园的宽为xm,则矩形 依题意，得y· 60-y+2=480, 2 的长为(40一2.x)m. 整理得y2-62y+960=0. 由40-2.x≤24，可得8≤x<20. 因为△=(-62)-4×1×960=4>0， 当a=24.S=198时. -2x+40.x=198,即x2-20x+99=0. 所以y 62±4 2 所以4=20-4×99=4>0. 解得y1=30,y:=32. 所以x=20土 因为墙EF最长可利用25m, -=10士1， 所以y1=30,y:=32均不符合题意，舍去， 解得x1=11,x:=9均符合题意， 所以不能围成面积为480m的矩形花园. 所以有两种围法. 4.C ②如题图②：设矩形菜园的宽为xm,则矩形 5.解：设该品牌头盔的实际售价应定为x元/个 的两个长的和为(40一2x+24)m,故矩形的长 则每个头盔的销售利润为(x一30)元，月销售 ◆25 量为600-10(.x-40)=(1000-10.x)个. 综上所述，m=24或m=25. 依题意，得(x一30)(1000一10x)=10000, 8.111728解析：设每轮传染中.平均1人传 整理，得x2一130x+4000=0, 染了x人，第一轮传染中有x人被传荣，第二 所以△=(-130)2-4×4000=900>0， 轮传染中有x(1十x)人被传乘， 【关健】明确传染的规律，得出每轮被传染的 所以x 130±/900130士30 2 人数是列出一元二次方程的关健： 解得x1=50,x2=80. 依题意，得1十x十x(1十x)=144, 当x=50时.1000-10x=1000-10×50=500: 即x2+2.x-143=0, 当x=80时，1000-10x=1000-10×80=200. 所以△=22-4×1×(-143)=576>0， 因为500>200， 所以x=80. 所以r=-一2±西_一2士24 2 2 答：该品牌头盔的实际售价应定为80元/个. 解得x1=11,x:=一13（不合题意，舍去）. 6.B解析：在R1△ABC中，∠B=90°，AB 所以每轮传染中平均1人传染了11人 12 cm.AC=13 cm. 因为144×(1+11)=1728（人）. 所以BC=√/AC一AB=√13-1z=5(m. 所以照这样的传染速度，经过三轮传染后，一 当运动时间为1s(0≤1≤5)时，AM=21cm, 共有1728人感染此病毒 BN=t cm,BM=(12-2t)cm. 9.解：(1)去甲公司购买所需费用为(40一5)× 依题意，得号BN·BM-9, 5=175(元)： 去乙公司购买所需费用为40×0.75×5=150 即412-20)=9： (元). 因为175>150. 整理，得12一61十9=0. 所以去乙公司购买花费较少 所以△=（一6）2-4×9=0， (2)去甲公司购买所需费用为(40一a)a元，去乙 所以11=1=3， 公司购买所需费用为40×0.？5a=30a(元). 所以点M,N的运动时间为38.故选B 依题意，得(40一a)a一30u=24或30a- 7.24或25解析：当6为底时，则x1=r: (40-a)a=24. 所以△=100一4m=0,所以m=25, 整理得a2-10a+24=0或a2-10a一24=0. 所以方程为x2一10x十25=0， 所以4=（一10）2一4×24=4>0或△ 所以根据公式法得x1=x:=5. (-10)-4×(-24)=196>0, 因为5+5>6. 所以5,5,6能构成等腰三角形. 所以a= 0+4_10.或4=10±，画 2 当6为腰时，则设x1=6, 10士14 【易错】以x1·:,6为三边，注意分6是底 2 还是腰，忘记分奥就会祸解 解得a1=4,a2=6或a1=12,a:=一2（不符 所以36-60+m=0, 合题意，舍去) 所以m=24, 答：a的值为4或6或12 所以方程为x一10.x十24=0， 10.解：(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以报据公式法得x1=6,x2=4. 所以∠C=90. 因为6+4>6， 因为△PCQ是等腰三角形， 所以4,6,6能构成等腰三角形 所以PC=CQ, 26 所以1=12一21 4用因式分解法求解一元二次方程 解得1=4， 1.(1)三 所以经过4s,△PCQ是等腰三角形. (2)解：x1=5,x2=一 (2)假设存在某一时刻1，△PCQ的面积是 矩形ABCD的面积的一半， (3)解：x1=3,x:=一2. 由题意.得71(12-2)=合×12×6， 2.B3.A 整理，得t2-61+36=0. 4解：(1)x1=0,x1=2 因为4=36-4×1×36=-108<0， （29=-1%=号 所以方程无解， 所以不存在某一时刻，△PCQ的而积是矩 (3)x1=3,r:=1. 形ABCD的面积的一半， 5.D (3)假设存在某一时刻t,△APQ的面积是 6.解：(1)x1=4+17,x2=4-√/17. 6 cm. 由题意，得12×6-立×12×(6-1) ②1=1=号 (3)x1=1,x=-1. 7.B解析：因为方程x2十px十q=0的两个根 212-2)-7×6×21=6 分别是2和3. 整理得12一61十30=0. 所以x2+p.x十g=(x-2)(x一3)， 因为△=36-4×1×30=-84<0. 即x2+p.x+g=x2-5x+6, 所以方程无解， 所以p=一5，q=6. 所以不存在某一时刻，△APQ的面积是6cm. 故选B (4)因为四边形ABCD是矩形， 8.C解析：把x十y十1看成一个整体，因式分 所以∠C=∠B=∠D=90°， 解，得(x+y+1)(x+y-3)=0. 所以AP=122+(6-1)2,AQ=6+ 所以x+y十1=0或x十y一3=0， (21)2,PQ=12+(12-21). 所以x十y=一1或x十y=3. 因为△APQ是等腰三角形， 故选C 所以当AP=AQ时，12+(6一1)严=6+(2)2， 9.C解析：因为实数k,b分别是一元二次方程 (x+3)(.x一1)=0的两个根，且k<b. 解得11=一2+213，t2=一2一2√13（不 所以k=一3，b=1,所以函数y=kx十b的图 合题意，舍去)： 象经过第一、二、四象限，不经过第三象限 当AP=PQ时，12+(6-t)”=t2+(12 10.一3或2解析：由题意，得(x十3)5= 24)2, (.x+3)-5(x+3). 解得1-士压（不合题意，舍去： 所以(x十3)(x-2)=0. 2 所以x十3=0或x一2=0， 当AQ=PQ时，6+(2)=t2+(12-2), 所以x=一3或x=2. 解得t1=24-63,t2=24+6√13（不合 11.85或9解析：因为x一9r=2(x-9), 题意，舍去) 所以(x一9)(x-2)=0, 综上所述，经过（一2+2√3）s或(24 所以x一9=0或x一2=0， 6√13)s,△APQ是等腰三角形. 解得x1=9,x=2. 27