4.3.1等比数列的概念 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念 高二数学组 2022-12-18 博学 笃志 雅行 厚德 教学目标: 1.理解等比数列的概念和通项公式的意义。 2.了解等比数列与指数函数的关系。 教学重难点: 重点:等比数列的概念和通项公式的意义。 难点:等比中项和等比数列的综合应用。 博学 笃志 雅行 厚德 思考:请同学们仔细观察以下五个数列, 类比等差数列的研究, 你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律?你发现了什么规律? 共同特点: 从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数. 如果用{an}表示数列①,那么有 取值规律: 从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于 9. 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 3 如果一个数列从第_项起,每一项与它的前一项的_都等于_一个常数,那么这个数列就叫做_. 常数叫做等_数列的_ 等比数列 二 比 同 等比数列 公比 等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 常数叫做等差数列的公差. 公差通常用字母d表示 公比通常用字母q表示(q≠0) 比 探究1:类比等差数列的概念,你能抽象出等比数列的概念吗? 定义 符号 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 等差中项 等比中项 如果三个数a, A, b组成等差数列,那么A叫做a和b的等差中项. 如果三个数a, G, b组成等比数列,那么G叫做a和b的等比中项. 定义 a, A, b成等差数列 a, G, b成等比数列 关系 注意:若a, b同号,则有两个等比中项;若a, b异号,则无等比中项. 探究2:类比等差中项的概念,你能抽象出等比中项的概念吗? 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 探究3:类比等差数列的通项公式,你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 等差数列 等比数列 不完全归纳法 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 累乘法 累加法 等差数列 等比数列 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 等比数列的通项公式: 思考:已知等比数列的第m项am,公比为q, 求通项公式an. 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 指数型函数 思考1:类比指数函数的性质,判断公比q>0的等比数列的单调性? 探究4:类比等差数列与一次函数的关系,等比数列可以与哪类函数建立关系? q q>1 0<q<1 a1>0 a1<0 q=1 a1 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 从图象上看,表示等比数列{an} 中的各项的点是指数型函数 图象上一群孤立的点. 思考2:公比q>0且q≠1的等比数列的图象有什么特点? 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 典例分析 ① ② 博学 笃志 雅行 厚德 典例分析 注意:等比中项还要关注项的关系,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同. 博学 笃志 雅行 厚德 典例分析 博学 笃志 雅行 厚德 (1)如果是三个数成等比数列,可设为 ,a,aq 对称设元法 (2)如果是四个数成等比数列,可设为 , ,aq,aq3 1.与等差数列有关的数的设元技巧: 2.与等比数列有关的数的设元技巧: (1)如果是三个数成等差数列,可设为a - d,a, a+d (2)如果是四个数成等差数列,可设为a+2d , a - d , a+d , a+2d 归纳总结 博学 笃志 雅行 厚德 1.已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个之积为16,前后两个数之积为-128.求这四个数. 解:设所求四个数为 由题意知 解得 因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32. 小试牛刀 博学 笃志 雅行 厚德 即:下标和相等,对应项的和相等 注意:等号两侧的项数必须相同 即:下标和相等,对应项的积相等 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 (2)在有穷数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和 (2)在有穷数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积 探究新知 等差数列: 等比数列: 博学 笃志 雅行 厚德 1.已知{an}是一个等比数列,请在下表中的空格处填入适当的数. a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 50 0.08 0.0032 小试牛刀 4 16 2.已知等比数列{an}中,a1a3=36,a2+a4=60.求a1和公比q. a1=2,q=3或a1=-2,q=-3 6 博学 笃志 雅行 厚德 典例分析 例1 用10 000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)? (2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.(精确到) 博学 笃志 雅行 厚德 例1 用10 000元购买某个理财产品一年. (1