第11讲 解直角三角形及其应用（5种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第11讲 解直角三角形及其应用（5种题型） 【知识梳理】 一．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 二．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 五．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【考点剖析】 一．解直角三角形（共10小题） 1．（2022秋•庐阳区期末）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，sinB＝，求BC长． 2．（2023•来安县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（　　） A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.8 3．（2022秋•池州期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为 　 　． 4．（2023•肥东县模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝90°，E为边BC上的点，△ADE为等边三角形，BE＝8，CE＝2，则tan∠AEB的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2023春•庐阳区校级期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积S＝．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为 　 　． 6．（2023•亳州模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosC＝　 　． 7．（2023春•安庆月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别在BC、AB上，若AC＝8、CD＝2、DE⊥AB，sinB＝，则ED的长度为（　　） A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.8 8．（2023•怀宁县一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求cosC的值． 9．（2022秋•蚌埠期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，BD⊥AC于点D． （1）求tan∠ABC的值； （2）求BD的长． 10．（2022秋•合肥月考）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点． （1）求边AC的长； （2）求∠EAB的正弦值． 二．解直角三角形的应用（共5小题） 11．（2023•庐阳区校级三模）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中 AC＝60km，∠CAB＝30°，∠CBA＝50°，因城市规划的需