第10讲 锐角的三角函数（5种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第10讲 锐角的三角函数（5种题型） 【知识梳理】 一．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 二．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值． （2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 　　 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 三．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 四．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 五．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 【考点剖析】 一．锐角三角函数的定义（共4小题） 1．（2023•镜湖区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2022秋•蒙城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，2AB＝5BC，则cosB的值为 　 　． 3．（2021秋•萧县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2021秋•安徽月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 二．锐角三角函数的增减性（共5小题） 5．（2021秋•金安区校级月考）已知：cosα＝，则α范围是（　　） A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜a＜60° D．60°＜a＜90° 6．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（　　） A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 7．（2023•安徽模拟）比较大小：sin81°　 　tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）． 8．（2022秋•天长市月考）比较大小：tan40° 　 　tan50°（填“＞”“＝”或“＜”）． 9．（2023•安徽一模）解不等式组：． 三．同角三角函数的关系（共6小题） 10．（2021秋•金牛区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA+cosA＝　 　． 11．（2022秋•宣州区期末）已知α为锐角，cosα＝，求tanα﹣的值． 12．（2022秋•宿州月考）已知∠A是锐角，cosA＝，求sinA，tanA的值． 13．（2021秋•安徽月考）若sinA＝，则tanA＝　 　． 14．（2023•怀宁县一模）若∠A是锐角，且tanA＝2sinA，则∠A＝　 　． 15．（2021•安庆模拟）已知sina＝（a为锐角），则tana＝　 　． 四．互余两角三角函数的关系（共3小题） 16．（2023春•金安区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinB＝　 　．