3.2.1 单调性与最大（小）值 导学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题名称：函数单调性与最大（小）值 课 题 单调性与最大（小）值 课时 一课时 课型 新授课 设计者 审核 使用人 使用时间 学习目标 1.知识与技能：理解函数单调性的定义，会判断和证明简单函数的单调性； 2.过程与方法：增减函数的定义，利用增减函数的定义判断函数的最值； 3.情感态度和价值观：培养从概念出发，进一步研究其性质的意识和能力，体会数形结合、分类讨论的数学思想，激发学生对数学学科的求知欲和探索欲. 知识重、难点 重点：形成函数单调性的定义； 难点：利用定义判定函数的单调性并求其最值. 教学准备与手段 板书结合多媒体教学 教学过程 二次备课 1、 情景导入，引入课题 函数是描述运动变化规律的模型，我们知道运动变化的规律是性质，变化中的不变性也是性质.因此，运动变化中的规律性或不变性通常反映为函数的性质. 材料：2021 年东京奥运会，我国跳水“梦之队”再创佳绩，取得了7金5银的好成绩。其中最受人瞩目的当属小将全红禅，五个动作，三个满分，创造了奥运会跳水历史最高分。 图1 全红禅夺冠 问题1：学生思考当全红禅从起跳到最高点，以及从最高点到入水，这两段时间的运动状态有什么区别？她的重心相对于水面的高度有什么变化，她的速度又有怎样的变化？ 我们可将跳水运动抽象成我们的函数图象，如视频所示。 图2 全红婵跳水轨迹 预设答案：全红禅从起跳到最高点，高度先随时间的增加而增加，速度向上；当全红禅从最高点下落时，高度随时间的增加而减小，速度向下。 问题2：如图所示是函数，（），的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 提示　函数的图象有最高点A，函数，的图象有最高点B，函数的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点. 问题3：怎样理解函数图象最高点的？ 提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值. 二、探究新知，形成概念 自主探究 学生活动： 1．独立完成下面的问题 2．教师引导校对答案 自学课本76-77页，解决如下问题： · 函数单调性 例1 画出，的图像，能简要的说明他们图像的变化趋势吗？ 在上任意改变的值，都有时，都有， 在上任意改变的值，都有时，都有，即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫做增函数. 定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递增函数. 在上上任意改变的值，都有时，都有.定义：一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区上的任意两自变量的值，当时，都有，函数在区间上是单调递减函数. 如果函数在定义域内某个区间上为增函数或减函数，那么就说在这个区间具有严格的单调性，而该区间叫做单调区间. · 函数的最值定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x) M； (2)∃x0∈I，使得 .那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x) M； (2)∃x0∈I，使得 . 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值. 合作探究 学生活动： 1. 小组间相互交流，讨论结果. 2. 各组把合作交流的结果，以书面形式展示到黑板上. 已知函数，求的最大值、最小值. 解：作出函数f(x)的图象，如图.由图象可知，当x＝±1时，取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，故的最大值为1，最小值为0. 三、巩固提升 1.用函数单调性定义求证：在是增函数. 2.画出反比例函数的图象. (1)这个函数的定义域是什么？ (2)它在定义域上的单调性是怎样的？ (3)能不能说在定义域上是单调减函数? 四、课堂小结 这节课的收获，请同学们回顾，做到温故而知新.学习了函数单调性，并根据单调性求得定义域内的最值. 五、课堂检测 1.函数的单调增区间是___________. 2.已知函数. (1)求的定义域. (2)判断函数在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明. 3.已知函数，x∈[－1，a]，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围为 4.已知，， ，则的最值情况是 6、 布置作业 必做题：练习册233页习题； 选做题：函数奇偶性的预习. 板书设计 3.2.1函数单调性和最大（小）值 1、 函数最值 习题（1）