21.3 实际问题与一元二次方程 讲义 2023-2024学年人教版九年级上册

2023-2024学年人教版九年级上册第二十一章 21.3 实际问题与一元二次方程讲义 层级要求： 掌握 ③列一元二次方程解决增长率、图形面积、经济（销售）等实际问题 理解 ②实际问题中蕴含的数量关系 认识 ①一元二次方程在解决实际问题方面的应用 基础知识详解 知识点 列一元二次方程解应用题 出题角度1 由实际问题抽象出一元二次方程 例1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（　　） 　 A． 100（1+x）2=81 B． 100（1﹣x）2=81 C． 100（1﹣x%）2=81 D． 100x2=81 解析：若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可． 答案：B 点拨： 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程． 变式练习1.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得　 　． 出题角度2 一元二次方程的应用 例2.（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 【解析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：1000（1+x）2＝1440， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区， 依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%）， 解得：y， 又∵y为整数， ∴y的最大值为18． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 点拨：本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 变式练习2. 某商店经销甲、乙两种商品． 现有如下信息： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的零售单价分别为　 　元和　 　元．（直接写出答案） （2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？ 思维误区诊断 误区一 对增长率问题中各个量的意义理解不透 例1.某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。 错解：设这两个月的平均增长率是x， ∴200（1+x）2=193.6， 即（1+x）2=0.968， 所以1+x=±1.1， 所以x=﹣1±． 正解：设这两个月的平均增长率是x， （1﹣20%）（1+x）x=200（1﹣20%）（1+x）（1+x）=200（1﹣20%）（1+x）2， ∴200（1﹣20%）（1+x）2=193.6，即（1+x）2=