第06讲 对数与对数函数（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第06讲　对数与对数函数 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. (e＝2.718 28…) 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质： ①1的对数为零：loga1＝0. ②底的对数为1：logaa＝1. ③零和负数没有对数． ④＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③＝logab． (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． 重要推论：①logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； ②logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性 质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 一．对数式的运算 例1．（1）已知2a=5b=m,且=1,则m=____. （2）求值：_________________． （3）计算：＝________． （4）已知，，用a、b表示__________．． （5）若log34•log48•log8m＝log416，则m＝___． （6）若是方程的两个实根，则 的值为______． 【复习指导】：解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 二．对数函数的图像及应用 例2．（1）函数，，，的图象如图所示，则的大小顺序是（ ） A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜b C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b （2）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（    ） A． B． C． D． （3）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（     ） A． B． C． D． （4）函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上（其中），则的最小值等于（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 （5）若对恒成立，则实数的取值范围是________________ （6）函数的零点个数为_______________. 【复习指导】：对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 三．对数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式、对数式的大小 例3．（1）设，，，则（     ） A． B． C． D． （2）（多选）已知实数，，满足，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． （3）设，， 则（     ） A． B． C． D． （4）设x、y、z为正数，且，则（ ） A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z （5）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【复习指导】：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. (3)比较对数值大小时常用的四种方法: ①同底数的利用对数函数的单调性． ②同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． ③底数和真数都不同，找中间量． ④若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 命题点2　解对数方程或不等式 例4．（1）已知集合,，则(     ) A． B． C． D． （2）设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(