第04讲 幂函数与二次函数（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第04讲　幂函数与二次函数 1．幂函数 (1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2．一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 3．二次函数的图象和性质 解析式 f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 一．幂函数及其图象和性质 例1．（1）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【复习指导】：判断函数为幂函数的方法 (1)自变量x前的系数为1. (2)底数为自变量x. (3)指数为常数． （2）下列命题中正确的是（     ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． （3）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （     ） A． B． C． D． （4）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为(     ) A． B． C． D． （5）（多选）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（     ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 （6）若，试求的取值范围. 【复习指导】：(1)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 二．比较幂值的大小 例2．（1）若，，，，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． （2）已知，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． （3）已知，，则a、b、c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a （4）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． （5）比较下列各组中两个幂的值的大小： ①，； ②，； ③，； ④，. 【复习指导】：在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点：指数不变，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键，另外特别要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量． 三．求二次函数的解析式 例3．（1）已知函数的图象关于y轴对称，且与直线相切，则满足上述条件的二次函数可以为_______. （2）已知二次函数的图像经过点，且函数是偶函数，则函数的解析式为___________. （3）已知二次函数f (x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x)＝______. （4）二次函数f (x)满足f (2)＝f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________. （5）已知是二次函数，且满足，，，求函数的解析式. 【复习指导】：求二次函数解析式的方法 四．二次函数的图象和性质 命题点1　二次函数的图象 例4．（1）已知函数（其中）的图象如下图所示，则的图