第08讲 函数与方程（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第08讲　函数与方程 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 一．函数零点所在区间的判定 例1．（1）函数的零点所在的区间是（     ） A． B． C． D． （2）函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（     ） A． B． C． D． （3）方程的解所在的区间为（     ） A． B． C． D． （4）（多选）下列函数中，在区间上存在唯一零点的有（     ） A． B． C． D． （5）用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是（    ） A． B． C． D． （6）函数的零点所在区间为，则____________． 【复习指导】：确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 二．函数零点个数的判定 例2．（1）函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）函数的零点的个数是（     ） A． B． C． D． （3）已知函数，则函数的零点个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 （4）设函数，则函数的零点的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 （5）已知函数则函数的零点个数为______________. 【复习指导】：函数零点个数的判定有下列几种方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点． (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． (3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三．函数零点的应用 命题点1　根据函数零点个数求参数 例3．（1）已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（     ） A． B． C． D． （2）若关于的方程在区间上仅有一个实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）已知函数的零点是和，则________. （4）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________. （5）已知是函数的一个零点，且，，则a的取值范围是______． （6）若函数，方程有两解，则实数m的取值范围为______ ． 命题点2　根据函数零点范围求参数 例4．（1）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（     ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ （2）关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． （3）若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． （4）若函数在上有3个零点，则实数a的取值范围为______. （5）设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________． 命题点3　数形结合法求解函数零点问题 例5．（1）已知（）是函数的一个零点，若，  ，则（ ） A．， B．， C．， D．， （2）已知是函数的一个零点，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， （3）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． （4）若方程在 内有解，则的图象可能是（ ） A． B． C． D． （5）已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________． 【复习指导】：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数