重难点专项突破08相似三角形中的 “一线三等角”模型-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

重难点专项突破08相似三角形中的 “一线三等角”模型 【知识梳理】 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 一般类型： 基本类型： 同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角” 【考点剖析】 例1.如图，直角梯形ABCD中，AB // CD，，点E在边BC上，且， AD = 10，求的面积． A B C D E 例2.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长． 例3.已知，在等腰中，AB = AC = 10，以BC的中点D为顶点作， 分别交AB、AC于点E、F，AE = 6，AF = 4，求底边BC的长． A B C D E F 【过关检测】 一．选择题（共3小题） 1．（2020·安徽·校联考三模）如图，为的边上一点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2017•利辛县一模）如图，D、E、F分别是等腰三角形ABC边BC、CA、AB上的点，如果AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，那么AF的长为（　　） A．5.5 B．4 C．4.5 D．3.5 3．（2022秋•瑶海区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于点E，下列结论：①△ADE与△ACD一定相似；②△ABD与△DCE一定相似；③当AD＝3时，CE＝；④0＜CE≤2．其中正确的结论有几个？（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（共2题） 4．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=________，△CEF面积的最小值是 ________． 5．（2022秋·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________ 三．解答题（共5小题） 6．（2021秋•大观区校级期中）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA． （1）求证：＝； （2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长． 7．（2022•砀山县模拟）如图1，在四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC．F是BC边上一动点，连接AF，DF，DF交AC于点E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B． （1）求证：AC•EC＝BF•CF； （2）若AB＝AC＝10，BC＝16． ①如图2，若DF∥AB，求的值； ②如图3，若DF＝DC，求△DCF的面积． 8．（2017秋•固镇县月考）已知：如图．△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果，AB＝3，EC＝，求DC的长． 9．（2022秋·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，在中，于，于，试说明： （1） （2） 10．（2020·安徽合肥·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接BE，作CF⊥BE分别交BE于点G，AB于点F． （1）如图1，若CF恰好平分∠BCA，求证：△CGE≌△CGB； （2）如图2，若＝，取BC的中点H，连接AH交BE于点P，求证： ①AH＝3AP； ②BH2＝BF•BA． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专项突破08相似三角形中的 “一线三等角”模型 【知识梳理】 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种