重难点专项突破07相似三角形中的“A”字模型（4种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

重难点专项突破07相似三角形中的“A”字模型（4种题型） 【知识梳理】 【考点剖析】 题型一：直接利用 “A”字模型解题 例1.如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝　　． 例2．（2022秋•静安区期末）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D、E分别在边AB、AC上，当AD＝4，∠ADE＝∠C时，＝　　 ． 题型二：添加辅助线构造“A”字模型解题 例3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝　　． 例4． 如图，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值． 例5．如图，在中，点D在线段BC上，，，AD = 2， BD = 2DC，求AC的长． 题型三：“AX”字型解题 例6.如图，中，，，，，，求的长． 例7.如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上， 且，已知，．求的长． 题型四：双A字模型 例8.如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD， 垂足为F．求证：． A B C D E F 【过关检测】 一．选择题（共7小题） 1．（2020秋•大观区校级期中）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC等于（　　） A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2 2．（2021秋•岳西县期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝3，AC＝2，则DM＝（　　） A． B． C． D． 3．（2021秋•萧县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，sinA＝，则BD的长度为（　　） A． B． C． D．4 4．（2021秋•亳州期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，下列条件不能使得△ABC与△ADE相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C．＝ D．＝ 5．（2021秋•全椒县期末）如图，树AB在路灯O的照射下形成影子AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，点C、A、P在同一水平线上，则树的高度AB长是（　　） A．3m B．2m C．m D．m 6．（2019秋•桐城市期末）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝2，CD＝3，那么EF的长是（　　） A． B．1 C． D． 7．（2022•萧县校级开学）如图，若△ABC内一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α， ①∠BAC＝90°，则必有∠APC＝90°； ②若AB＝AC．则必有PB2＝PA•PC， 对于这两个结论，下列说法正确的是（　　） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②均对 D．①，②均错 二．填空题（共3小题） 8．（2022秋•蒙城县月考）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝　 　m． 9．（2023•亳州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是边AB上的一点，MN是线段CP的垂直平分线且分别交AC、BC于点M、N． （1）若MN∥AB，则MN＝　 　； （2）若MN经过Rt△ABC的某一顶点，则MN＝　 　． 10．（2021春•安庆期中）有一张矩形纸片ABCD，AD＝9，AB＝12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是　 　． 三．解答题（共5小题） 11．（2022秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝4，求BC的长． 12．（2022秋•瑶海区校级期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝12，BC＝15．求AD长及四边形BDEF的周长． 13．（2019秋•淮北期中）如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G． （1）求证：AD2＝BG•DH； （2）求证：CE＝DG； （3）求证：EF＝HG． 14．（2022•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB． （1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF； （2）若AD⊥