1.2一元二次方程的解法（七大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》 1.2 一元二次方程的解法 知识点一 直接开平方法 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． ◎◎◎注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点二 配方法 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 知识点三 公式法 ◆1、把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点四 因式分解法 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 题型一 用直接开平方法解一元二次方程 【例题1】（2023•西青区二模）方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　） A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9 解题技巧提炼 左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚. 【变式1-1】（2022秋•玄武区期末）一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C．， D．x1＝3，x2＝﹣3 【变式1-2】（2022秋•路北区校级月考）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1 【变式1-3】（2023春•蓬莱区期中）若一元二次方程ax2﹣b＝0的两个根分别为m+1，2m﹣4，则的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-4】（2022秋•江都区期中）解方程： （1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0． 【变式1-5】（2022秋•莲湖区校级期中）解下列方程： （1）9x2＝25； （2）6（x+2）2＝48． 【变式1-6】（2022秋•莲湖区校级月考）解方程： （1）16x2＝25； （2）3（x+1）2﹣108＝0； （3）（2x+3）2﹣54＝0． 题型二 用配方法解一元二次方程 【例题2】（2023•陇南模拟）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝0 解题技巧提炼 用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单. 【变式2-1】（2023•乾安县三模）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2的形式，则m的值为 　 　． 【变式2-2】（2023•阳谷县二模）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．11 D．7 【变式2-3】（2023春•淮北月考）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方