专题1-4 根的判别式与根与系数的关系（七大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》 专题1-4 根的判别式及根与系数的关系 题型一 利用根的判别式判断根的情况 1．（2023春•蚌埠期中）一元二次方程x2+2＝2x根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．（2023春•海曙区期末）一元二次方程3x2+4x﹣1＝0的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 4．（2022•蜀山区校级三模）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况 为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 5．（2023•内乡县校级三模）已知a，c互为倒数，则关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为1 6．（2023•虞城县三模）对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 题型二 利用根的判别式求字母的值或取值范围 1．（2023•封丘县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．2 B．﹣3 C．﹣2或6 D．﹣3或5 2．（2023春•宣城月考）已知关于x的一元二次方程ax2+3x﹣4＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A．且a≠0 B．且a≠0 C． D． 3．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，用配方法解方程． 4．（2023•五华县校级开学）已知关于x的方程x2+9x+25+m＝0， （1）若此方程有实数根，求m的取值范围； （2）在（1）条件下m取满足条件的最大整数时，求此时方程的解． 5．（2022秋•平度市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2＝0． （1）若该方程的一个根为，求实数m的值； （2）若该方程有实数根，求实数m的取值范围． 6．（2022秋•临湘市期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此时方程的根． 题型三 利用根的判别式证明方程一定有根或无根 1．（2023•丰顺县开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．求证：方程总有两个实数根． 2．（2022秋•临渭区期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．求证：此方程一定有实数根． 3．（2022春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0． （1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 4．（2023春•慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 5．（2022秋•郾城区校级期末）已知关于x的方程x2﹣mx+2m﹣4＝0． （1）求证：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）如果该方程的两个实数根均为正数，求m的最小整数值． 6．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值． 整理得：m2+m﹣2＝0， 题型四 利用根的判别式解决与三角形有关的问题 1．已知a，b，c是△ABC的三边，且方程以c（1﹣2x）﹣（x2﹣2x+1）b+ax2＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并证明你的结论． 2．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝7，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求三角形的周长． 3．（2023春•鲤城区校级期中）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k+8）x+8＝0． （1）求证：无论k取任何非零实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长