专题1-3 一元二次方程根的判别式（七大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》 专题1-3 一元二次方程根的判别式 知识点 一元二次方程根的判别式 ◆1、一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac． ◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． ◆3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤: ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a，b，c的值； ③计算b2﹣4ac的值； ④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况． ◆4、运用根的判别式时的注意事项 （1）将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值． （2）确定a，b，c 的值时不要漏掉符合． 题型一 利用根的判别式判断根的情况 【例题1】（2023•淮南一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x2+4＝2x B．（x+1）2＝0 C．x2﹣2023x＝0 D．x2+2＝3x 解题技巧提炼 ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 【变式1-1】（2023春•淮北月考）方程2x2﹣5x+7＝0根的情况是（　　） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法判断 【变式1-2】（2023•新会区二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．x2＝x C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣16＝0 【变式1-3】（2023•郯城县二模）一元二次方程3x2﹣5x＝﹣6的根的情况为（　　） A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【变式1-4】（2023•贵州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是x＝1 【变式1-5】（2023•内乡县校级三模）已知a，c互为倒数，则关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为1 【变式1-6】（2023•扶沟县二模）若|a﹣3|0，则关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型二 利用根的判别式求字母的值 【例题2】（2023•安徽模拟）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值 为（　　） A． ﹣2 B．﹣2或6 C．6 D．﹣6或2 解题技巧提炼 用一元二次方程根的判别式求字母的值的解题步骤： （1）确定一元二次方程一般形式中a、b、c的值. （2）计算判别式，根据题设列方程； （3）解方程求出字母的值. 【变式2-1】（2023•淮阳区校级三模）若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0 有两个相等实数根，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9 【变式2-2】（2023春•乐清市月考）若关于x的方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是（　　） A．﹣4 B．4 C．8 D．16 【变式2-3】（2023•永嘉县二模）若关于x的方程x2+6x+18a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A． B． C．﹣2 D．2 【变式2-4】（2023•驻马店二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ． 【变式2-5】（2023•永嘉县三模）若关于x的一元二次方程x2+bx+16＝0，有两个相等的实数根，则正数b的值是 ． 题型三 利用根的判别式确定字母的取值范围 【例题3】（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0 解题技巧提炼 用一元二次方程根的判别式求字母的取值范围的解题步骤： （1）确定一元二次方程一般形式中a、b、c的值. （2）计算判别式，根据题设列不等式； （3）解不等式求出字母的取值范围. 【变式3-1】（2023•金水区校级三模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是