21.3 实际问题与一元二次方程（第二课时）（几何问题和数字问题）（教学设计）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.3 实际问题与一元二次方程第2课时，内容包括：利用一元二次方程解决几何问题和数字问题。 2.内容解析 本节课学习如何利用一元二次方程解决几何问题和数字问题。想要解决几何问题，就要根据图形的性质构建一元二次方程，从而将实际问题转化为数学问题，再次体现数学建模思想，在此过程中培养学生分析问题和运用一元二次方程解决实际问题的能力。数字问题大致可分为三类，即一般数目关系问题，连续数问题、数字排列问题。解答这类题的关键是：掌握其基本的数量关系和连续数及一般数的表示方法。利用一元二方程解数字问题，关键是找到其基本的数量关系，以及数字之间的规律，然后利用其基本的数量关系和连续数及一般数的表示方法来进行求解。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：找出实际问题中的等量关系，正确列出一元二次方程。 二、目标和目标解析 1.目标 1）根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2）通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 2.目标解析 达成目标1)的标志是：通过审题，根据“几何问题”中图形的性质构建一元二次方程，根据“数字问题”中基本的数量关系构建一元二次方程。找等量关系，正确列出方程并求解，从而解决实际问题。 达成目标2）的标志是：对用方程解决实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）进行回顾、总结和深化，体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型。 三、教学问题诊断分析 九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，了解将实际问题转化为数学问题的一般步骤，积累了一定的解题经验和方法。学生解决“几何问题”的困难是：根据图形的性质构建一元二次方程。学生解决“数字问题”的困难是：读懂图意，找到其基本的数量关系。　 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：发现实际问题的等量关系。 四、教学过程设计 （一）复习旧知，引入新课 【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤? 师生活动：教师提问，学生回答。 【提问】计算下列图形面积? 师生活动：教师提问，学生回答。 【设计意图】先回顾常见图形的面积计算公式及列方程解决实际问题的相关知识，为本节课学生学习利用一元二次方程解决几何问题和数字问题做好铺垫。 （二）探究新知 【问题】要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬 等宽，左、右边衬 等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题： 【提问1】本题要解决什么问题？（几何问题） 【提问2】上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？如何表示？ （封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是： (27-9a): (21-7a)= 9(3-a):7(3-a)= 9:7） 【设计意图】将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解的难点就是探究上、下边衬与左、右边衬的宽度比。因此在此设问，以帮助学生理解。 【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗? 师生活动：学生独立思考，给出答案。 等量关系:中央矩形的长 设上、下边衬的宽均为9y cm ，左、右边衬的宽均为7y cm， 由题意得 (27-18y)(21-14y)=27 解方程得y1=（不合题意，舍去） 所以9y=1.8 cm，7y=1.4 cm 答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm 【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。 【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面问题？请你试一试。 师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题： 【提问4】中央矩形的长与宽 还可以怎么表示？你能解决这个问题吗? 师生活动：学生独立思考，给出答案。 设正中央的矩形长和宽分别为9x cm，7x cm 由题意得 927 则x1=舍去） 故上、下边衬的宽度为≈1.8 cm， 左、右边衬的宽度为≈1.4 cm 答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm 【设计意图】通过不同的列式情况，提高学生分析和解决问题的能力。 【问题】如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠 把耕地