5.3.1 函数的单调性 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性 高二数学组 2022-12-23 博学 笃志 雅行 厚德 教学目标： 1、理解可导函数的单调性与其导数的关系 2、能够利用导数确定函数的单调性及函数的单调区间 3、能够利用函数的单调性解决有关问题 教学重难点： 1.理解函数的单调性与导数的正负之间的关系 2.运用导数判断函数的单调性 博学 笃志 雅行 厚德 通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质. 学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 利用导数研究函数的单调性. 直接引入 博学 笃志 雅行 厚德 问题1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象. a= ,b是函数h(t)的零点. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 观察图象可以发现： (1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h′(t)>0. (2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h′(t)<0. 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 思考：我们看到，函数h(t)的单调性与h′(t)的正负有内在联系.那么，我们能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？ 对于高台跳水问题，可以发现： 当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增； 当t∈(a,b)时，h′(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调递减. 这种情况是否具有一般性呢？ 探究新知 在区间(a,b)上， h′(t)>0 在区间(a,b)上， h′(t)<0 在区间(a,b)上， h(t)单调递增 在区间(a,b)上， h(t)单调递减 博学 笃志 雅行 厚德 问题2 观察下面一些函数的图象，你能说明函数的单调性与导数的正负的关系吗？ 探究新知 x y O y＝x (1) x y O y＝x2 (2) x y O y＝x3 (3) x y O (4) 博学 笃志 雅行 厚德 探究新知 x y O f (x)＝x (1) x y O f ′(x)＝1 在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增 在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0 博学 笃志 雅行 厚德 探究新知 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 x y O f (x) ＝x2 (2) x y O f ′(x)＝2x 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 博学 笃志 雅行 厚德 问题3 为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？ 探究新知 导数f ′(x0) 在区间上， f ′(x)>0 函数y=f (x)的图象在点(x0, f(x0))处切线的斜率 在x=x0处f ′(x0)>0 函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增 切线“左下右上”上升 在区间上，f (x) 单调递增 f (x0)>0 f (x)在x0附近↗ 切线“左下右上” 博学 笃志 雅行 厚德 探究新知 导数f ′(x1) 在区间上， f ′(x)<0 函数y=f (x)的图象在点(x1, f(x1))处切线的斜率 在x=x1处f ′(x1)<0 函数y=f (x)的图象下降，在x=x1附近单调递减 切线“左上右下”下降 在区间上，f (x) 单调递减 f (x1)<0 f (x)在x1附近↘ 切线“左上右下” 问题3 为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？ 博学 笃志 雅行 厚德 一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么