1.2 空间向量基本定理（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 导学案 学习目标 (1) 了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养； (2) 掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养； (3) 掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。 重点难点 重点：掌握空间向量基本定理 难点：用空间向量基本定理解决有关问题. 课前预习 自主梳理 知识点1：设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则 ．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而 而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 ． 知识点2：如果，，是空间 向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ． 我们称，，分别为向量在，，上的分向量． 知识点3：如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 ．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 ． 知识点4：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为1，那么这个基底叫做 ，常用表示．由 定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量 1.已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行． B．若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． C．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线． D．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面． 3.若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4.已知关于向量的命题， （1）是，共线的充分不必要条件； （2）若，则存在唯一的实数，使； （3），，则； （4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底； （5）． 在以上命题中，所有正确命题的序号是________． 5.关于空间向量，以下说法正确的是（    ）． A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 新课导学 学习探究 （一）新知导入 环节一 创设情境，引入课题 问题情境 我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ 我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量，来表示(平面向量基本定理)．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量，，来表示呢? 师生活动 学生独立思考、作答，教师展示研究路径，板书空间向量及其运算，揭晓课题：下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始． ［设计意图］主要方法是类比，即类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算，类比用平面向量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简单的立体几何问题.教，使学生亲历研究的过程，积累基本活动经验. 环节二 观察分析，感知概念 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论． 问题1：空间中怎样的向量能构成基底？ 【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底． 如图1.2-1，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而 而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 ． 问题2：基底与基向量的概念有什么不同？ 【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同. 从而 问题3：空