四川省2023年北师大版初一升初二暑期模型复习4——中点模型

初一升初二暑期模型复习4——中点模型 中点模型 模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 【实战演练】 1．如图所示，E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，若AB=6，则CD= . 2．（2021-2022成都二十中七下期中·20）（12分）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD是BC边上的中线 ∴BD＝CD 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（依据一） ∴BE＝CA 在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二） ∴AB+AC＞2AD． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：　 ； 依据2：　 　． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，AD是BC边上的中线，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是　 ； 任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由． 3．（天府新区期末·28）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，使得∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE，垂足为G，AG交ED于点F．若AC＝CE，点D为AC的中点，AB与AC相等吗？为什么？ 4．（2020-2021龙泉驿七年级（下）期末·28）（10分）如图，已知和都是等腰直角三角形，为它们的公共直角顶点，，点是的中点，连接CF，判断与的关系． 模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一” 2 1 “三线合一”的写法 条件：①AB=AC（△ABC是等腰三角形或∠B=∠C）； ②∠1=∠2（AD是∠BAC的角平分线）； ③AD⊥BC； ④D是BC中点（BD=CD） 写法：知二求二（必须含条件①） 如： ∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD 模型分析 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。 1．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF。求证：∠EDB=∠FDC。 2．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。 （1）当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时（如图①），求证：； （2）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。 3．(2021-2022青羊区七年级下期末·22）（4分）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则最小值为 　 　． 4．(2021-2022七年级下期末·26）（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，边CA沿着过点A的某条直线对折得到得到DA，连接CD，以CD为边在左侧作△CDE，其中∠CDE＝90°，CD＝DE，AD与CE交于点F，连接BD． （1）如图1，连接AE，当点D在△ABC外部时，试说明△ADE≌△BCD； （3）如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为AD的中点，且EF＝2，求BD的长． 模型3 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 定理应用 ①正用 条件：∠ACB=90°，D是AB的中点 结论：CD=AD=BD=AB 写法： ∵∠ACB=90°，D是AB的中点 ∴CD=AD=BD=AB 证明： ②逆用（1）【必须证】 条件：AD=CD，∠ACB=90° 结论：D是AB中点（AD=BD） 写法： ∵AD=CD，∠ACB=90° ∴D是AB中点（AD=BD） 证明： 逆用（2）【必须证】 条件：AD=CD=BD 结论：∠ACB=90° 写法： ∵AD=CD=BD ∴∠ACB=90° 证明： 模型分析 在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直