四川省2023年北师大版初一升初二暑期模型复习3——半角模型

初一升初二暑期模型复习3——半角模型 半角模型 一．角在内 已知如图： ①∠2=∠AOB； ②OA=OB。 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E．FE，可得△OEF′≌△OEF。 二．角在外 已知如图： ①∠EOF=∠AOB； ②OA=OB。 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E．FE，可得△OEF′≌△OEF。 模型分析 （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。 【实战演练】 1．（金牛区期末·28）如图，在正方形ABCD中，点F是直线BC上一动点，连接AF，将线段AF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FH，连接AH交直线DC于点E，连接EF和CH，设正方形ABCD的边长为x．如图1，当点F在线段BC上移动时，求△CEF的周长（用含x的代数式表示）； 2．如图，在正方形ABCD中∠MAN=45°,求证： (1)MN=BM+DN； (2)△MCN的周长等于正方形ABCD边长的2倍; (3)MA是∠BMN的平分线,NA是∠DMM的平分线. 3．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是( )。 A.a B.2a C.3a D.不能确定 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且∠EAF=45°，探究EF，BE，DF之间的数量关系，并证明。 5．（2020-2021金牛区七年级（下）期末·25）（4分）如图，在中，，两锐角的角平分线交于点，点．分别在边．上，且都不与点重合，若，连接，当，，时，则的周长为 　 ． 6．(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,求证:EF=BE+FD; (2)在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?(不需要说明理由) (3)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E,F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系,并证明 7．（2020-2021天府新区七年级（下）期末·28）（12分）（1）问题引入 如图1，点是正方形边上一点，连接，将绕点顺时针旋转与重合与重合，与重合，此时点，，在一条直线上），的平分线交于点，连接，判断线段与之间有怎样的数量关系，并说明理由． （2）知识迁移 如图2，在四边形中，，，，分别是边，延长线上的点，连接，，且，试写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）实践创新 如图3，在四边形中，，平分，点在上，连接，，且，若，，，求的长．（用含，，的式子表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $初一升初二暑期模型复习3——半角模型 半角模型 一．角在内 已知如图： ①∠2=∠AOB； ②OA=OB。 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E．FE，可得△OEF′≌△OEF。 二．角在外 已知如图： ①∠EOF=∠AOB； ②OA=OB。 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E．FE，可得△OEF′≌△OEF。 模型分析 （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。 【实战演练】 1．（金牛区期末·28）如图，在正方形ABCD中，点F是直线BC上一动点，连接AF，将线段AF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FH，连接AH交直线DC于点E，连接EF和CH，设正方形ABCD的边长为x．如图1，当点F在线段BC上移动时，求△CEF的周长（用含x的代数式表示）； 【分析】（1）如图1中，延长CB到G，使得BG＝DE，连接AG．想办法证明EF＝BF+DE即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，延长CB到G，使得BG＝DE，连接AG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°， ∵DE＝BG， ∴△ADE≌△ABG（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAE，AG＝AE， ∵将线段AF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FH， ∴FA＝FH，∠AFH＝90°， ∴∠FAH＝∠AHF＝45°， ∴∠BAF+∠D