13.4 课题学习 最短路径问题 课件2022-2023学年人教版八年级数学上册

1、在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它应该选择哪种路线？ C B A 情境引入 理由：两点之间线段最短. 2、如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从 A处引到田地里去，则应从河边 l 的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由. 解：图略. 理由：垂线段最短. 13.4 课题学习 最短路径问题 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 温故知新 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A l A ′ 温故知新 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 如图，将军从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地. 将军到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”. C 抽象成 A B l 数学问题 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 将军饮马问题 问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ A l B C 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 连接AB,与直线l相交于一点C. 问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ 想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处？ A B l 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′. 方法揭晓 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． A B l B ′ C 问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． A B l B ′ C C ′ 即　AC +BC 最短． 练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） P Q l A M P Q l B M P Q l C M P Q l D M D 当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点． 方法归纳 两点一线型问题 例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 典例精析 B 如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。 M’ P 情境激疑 例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　） A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0） B′ C′ E A 方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置. 如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P． x y O B A B' P 当堂练习 解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.△PMN周长的最小值为PM+MN+PN=P1P2. ∙ P l2 l1 如