2.2 基本不等式-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

2.2　基本不等式 【知识梳理】 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点三　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【基础自测】 1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 2．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　) A． B．4 C． D．5 4．已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________． 5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m． 【例题详解】 一、利用基本不等式比较大小 例1　(1)设，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． (2)（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1　(1)若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． (2)若，，a≠b，则，，2ab，中最大的一个是______． 二、利用基本不等式求最值 例2　(1)已知，求的最小值； (2)已知，求的最大值． (3)已知都是正数，若，求的最大值; (4)已知且，求的最小值. (5)已知. (i)求的最小值； (ii)求的最小值； (iii)求的最大值. (6)求解下列各题： （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 跟踪训练2　(1)已知正数、满足，求 的最小值； (2)求函数的最小值． (3)已知x，y都是正数，若，求的最大值； (4)若，且＞0，求的最小值． (5)求下列函数的最值，已知，求的最小值； (6)已知正实数，若，求的最大值； (7)若x＞0，y＞0，且，求的最小值. 三、用基本不等式证明不等式 例3　(1)已知，，，求证： (i)； (ii). （2）已知，求证：>． （3）已知，求证：． 跟踪训练3 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac； （Ⅱ）. 四、基本不等式在实际问题中的应用 例4 (1)某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（    ）． A．36平方米 B．48平方米 C．64平方米 D．72平方米 (2)某中学计划在劳动实习基地的空地上用篱笆围出一个面积为的矩形菜地，则需要的篱笆长度至少是___________m. 跟踪训练4 某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和． (1)写出关于的函数表达式； (2)求为多少时，有最小值，并求出的最小值． 【课堂巩固】 1．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（    ） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 2．若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 4．若、，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 5．已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________. 8．解答下列问题：已知，求函数最