专题强化1 空间向量的应用-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题强化1：空间向量的应用 【基础巩固】 1．设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（    ） A． B．或 C． D． 2．两平面α，β的法向量分别为，若α⊥β，则y＋z的值是（    ） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 3．如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ） A． B． C． D． 4．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（    ） A． B． C． D．以上均错 5．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 6．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则与的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 7．已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（    ） A． B． C．或 D． 8．将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 9．已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则Q到平面的距离为______． 10．已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成角的大小是______. 11．设分别是空间两直线的方向向量，则直线，所成角的大小为___________. 12．已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为__________. 13．如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 14．在直角梯形中，，O为中点，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面，如图（2）． (1)求证：； (2)若M为线段的中点，求点M到平面的距离． 15．如图,在三棱台中,已知平面平面,,, (1)求证:直线平面; (2)求平面与平面所成角的正弦值. 16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，． 且 (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离． 【综合运用】 17．如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 18．如图，多面体中，是平行四边形，⊥平面，⊥，，，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求线段的长. 【拓广探究】 19．四棱锥，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，平面平面PBC. (1)证明：⊥； (2)设M为PC上的点，求PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值. 20．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，. (1)求证：平面⊥平面； (2)在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，请说明理由； 若存在，求的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化1：空间向量的应用 【基础巩固】 1．设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由，得，所以或 【详解】，，， 则有， 又是直线l的方向向量，是平面α的法向量，所以或. 故选：B 2．两平面α，β的法向量分别为，若α⊥β，则y＋z的值是（    ） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 【答案】B 【分析】根据题意结合空间向量的坐标运算求解. 【详解】∵分别为α，β的法向量且α⊥β，则， ∴，整理得：y＋z＝6. 故选：B. 3．如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可. 【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且， 等边△的高为， 在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示， 则，且， 所以，，， 若为面PBC的法向量，则，令，则， 又平面PBC，则且k为实数，，故. 故选：D 4．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（    ） A． B． C． D．以上均错 【答案】A 【分析】利用直线的方向向量与法向量的夹角与线面角的关系可求答案. 【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于， 所以直线与平面的所成的角为. 故选：A. 5．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每个选项中P