1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 【划重点】 1．理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导. 2．利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离． 3．会用向量法求线线、线面、面面夹角. 4．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 【知识梳理】 知识点一　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 (如图)． 知识点二　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 知识点三　两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． 知识点四　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【例题详解】 一、点到直线的距离 例1　(1)已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C． D． (2)直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为__________. (3)如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离. 跟踪训练1　(1)已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为___________. (2)如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______． 二、点到平面的距离与直线到平面的距离 例2　如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 跟踪训练2　(1)已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（      ） A．10 B．3 C． D． (2)如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． (3)如图所示，若正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E、F分别为AB、BC的中点，则直线AC到平面PEF的距离为______． 三、两条异面直线所成的角 例3　(1)正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． (2)如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3　(1)在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． (2)如图，在四棱锥中，，底面ABCD为长方形，，，Q为PC上一点，且，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 四、直线与平面所成的角 例4　在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 跟踪训练4 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 五、两个平面的夹角 例5 如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示. (1)求的长度； (2)求二面角的大小. 跟踪训练5　如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【课堂巩固】 1．已知空间中三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为(　　) A． B． C． D． 4．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为(　　) A． B． C．或 D．以上均不对 5．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C